第 8 章：秩

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向量空间的线性子空间，是由该向量空间中一部分向量构成、且自身也是线性空间的子集。要证明一个线性空间的子集是线性子空间，只需检验三项条件。下述定理概括了这三项条件。

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这说明齐次方程组的解集是一个线性空间。

这说明一组向量的所有线性组合所构成的集合是一个线性空间。

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正如第 5.5 节所述， $\mx{A}\vc{x} = \vc{0}$ 这类方程组称为齐次方程组。下面将说明，这类方程组的解能够揭示 $\mx{A}$ 的一些有用性质。先看一个例子。 设有矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \begin{pmatrix} 2 & \hid{-}5 & \hid{-}3 \\ 4 & \hid{-}2 & \hid{-}1 \\ 2 & -3 & -2 \end{pmatrix}, \end{equation}

(8.1)

求解 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$，其中 $\vc{x} = (x_1, x_2, x_3)$ 是列向量。 这与式（5.34）中的例子相同，即

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 4 x_1 + 2 & \bs x_2 +\hid{3}& \bs x_3 = 0, \\ 2 x_1 - 3 & \bs x_2 - 2 & \bs x_3 = 0, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(8.2)

经过若干步高斯消元，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs x_3 = 0, \\ & & \bs 0 = 0. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(8.3)

接下来令 $x_3=t$，则 $x_2=-\frac{5}{8}t$，最终有 $x_1=\frac{1}{16}t$，即

\begin{equation} \vc{x}(t) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{16}t \\ -\frac{5}{8}t \\ t \end{pmatrix} \end{equation}

(8.4)

可以看出，解集是一条直线， 只依赖一个可变参数 $t$。有时把解记作 $\vc{x}_\mathrm{h}$，以表明 它是齐次方程组 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解。 全部解构成的集合称为 $\mx{A}$ 的零空间。在本例中， 零空间只依赖参数 $t$，所以其维数为 1。 向量 $(1/16, -5/8, 1)$ 是零空间中的一个非零向量，也称为一个零空间向量。 下面给出正式定义。

由定义，零空间必为 $\R^n$ 的子空间，因此其维数不超过 $n$。 它是一个线性子空间（见例 8.2）。这个子空间的维数十分重要，因而有专门的名称。

由于零空间是 $\R^n$ 的子空间，故 $\nullity(\mx{A}) \leq n$。那么它比 $\R^n$ 少了多少维呢？粗略地说，这取决于 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 中约束条件的数目，但必须谨慎：即使该方程组有 $m$ 个方程，也不能直接断定 $\nullity(\mx{A}) = n - m$。矩阵 $\mx{A}$ 中真正独立的约束数，正是秩所刻画的内容。后面将证明 $\nullity(\mx{A}) = n - r$；也就是说，$\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 中的约束使维数恰好减少 $r$，其中 $r$ 就是 $\mx{A}$ 的秩。

利用高斯消元法，可以求得零空间的一组基，进而得到零空间的维数。 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解中独立参数的个数， 正是零空间的维数。

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对 $m\times n$ 矩阵 $\mx{A}$，回顾定义 6.2中行向量 $\vc{a}_{i,}^\T$（$i\in{1,\dots,m}$）与列向量 $\vc{a}_{,j}$ 的记法，即

\begin{equation} \mx{A} = \bigl(\vc{a}_{,1} \,\,\, \vc{a}_{,2} \,\,\,\dots\,\,\, \vc{a}_{,n}\bigr) = \left( \begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\ \vc{a}_{m,}^\T\\ \end{array} \right). \end{equation}

(8.10)

还要重申本书中列向量与行向量的记法：默认所有向量都是列向量；若要使用行向量， 就把列向量 $\vc{x}$ 转置为行向量 $\vc{x}^\T$。 此外，$(x_1,x_2,x_3)$（注意逗号）也是列向量，而 $(x_1 \spc x_2 \spc x_3)$ 是行向量， 详见定义 2.5下方的说明。

了解零空间后，就可以引入两个与之相关的概念：列空间与行空间。

注意，矩阵与向量之积 $\mx{A}\vc{x}$ 可写为

\begin{equation} \mx{A}\vc{x}= \left(\vc{a}_{,1}\,\,\, \vc{a}_{,2}\,\,\, \dots\,\,\, \vc{a}_{,n}\right)\vc{x} = x_1\vc{a}_{,1} + x_2\vc{a}_{,2} + \dots +x_n\vc{a}_{,n}, \end{equation}

(8.11)

也就是 $\mx{A}$ 各列向量的线性组合（见定义 5.1）。 因此，列空间就是所有可由第一列向量的某个常数倍、第二列向量的另一个常数倍，依次相加而得到的向量。 由于 $\mx{A}$ 的每个列向量都有 $m$ 个元素，故列空间按定义是 $\R^m$ 的子空间。

与列空间类似，这里也可写成向量与矩阵之积；不过这次使用含 $m$ 个元素的行向量 $\vc{x}^\T$，从左侧与矩阵相乘，即

\begin{equation} \vc{x}^\T\mx{A}= \vc{x}^\T \left(\begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\\vc{a}_{m,}^T \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} x_1\ \ x_2\ \ \dots\ \ x_m \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \vc{a}_{1,}^\T\\ \vc{a}_{2,}^\T\\ \vdots \\\vc{a}_{m,}^T \end{array}\right) = x_1\vc{a}_{1,}^\T + x_2 \vc{a}_{2,}^\T + \dots + x_m \vc{a}_{m,}^\T. \end{equation}

(8.12)

这同样是线性组合（见定义 5.1），只是这次组合的是 $\mx{A}$ 的行向量。 因此，行空间由第一行向量的某个常数倍、第二行向量的另一个常数倍，依次相加所能得到的全部向量构成。 由于 $\mx{A}$ 的每个行向量都有 $n$ 个元素，故行空间按定义是 $\R^n$ 的子空间。

下面逐步推导一种简便方法，用来求矩阵列空间或行空间的基向量。 先看下述定理。

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务必注意，定理 8.2只适用于行空间，不适用于列空间。

下面为高斯消元后所得矩阵引入一个专门术语。

持续实施高斯消元法，直至无法继续消元，便可得到行阶梯形矩阵。 行阶梯形具有类似三角矩阵的结构，例如

\begin{equation} \left( \begin{array}{rrrrr} \underline{2} & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & \underline{1} & 4 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{1} & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right). \end{equation}

(8.21)

因此，这类矩阵有时也称为 $\mx{A}$ 的“阶梯等价”矩阵。 上式中加下划线的首个非零系数十分重要，通常称为主元。 有些教材要求这些首个非零系数均化为 1，只需把整行除以该首个非零系数即可；本书不作此要求。

下述定理说明如何求行空间的基向量及其维数。

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注意，行空间或列空间的基向量个数，分别就是行秩或列秩。

下面证明行空间的维数（行秩）等于列空间的维数（列秩）。随后再用一个例子说明如何求行空间与列空间的基。

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此后无需再区分 $\rowrank(\mx{A})$ 与 $\colrank(\mx{A})$，统一称为矩阵的秩，记作 $\rank(\mx{A})$。上述定理也可写成 $\rank(\mx{A})= \rank(\mx{A}^{\T})$。 因此，若要找矩阵 $\mx{A}$ 的列空间基向量，可先将其转置为 $\mx{A}^{\T}$，再应用定理 8.3。 下面用一个例子说明如何求列空间的一组基。

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下面给出矩阵乘积之秩的上界。

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现在已知 $\vc{x}_h$ 位于 $\mx{A}$ 的零空间中，而 $\vc{y}$ 必须位于 $\mx{A}$ 的列空间中，否则 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 无解。 交互式图解 8.3展示了这两类解如何相互作用。 下述维数定理十分实用：只要知道零空间的维数或矩阵的秩，再知道矩阵的列数，就能求出另一个量。

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回顾：$\nullity(\mx{A})$ 决定描述齐次方程组 $\mx{A}\vc{x}=\vc{0}$ 的解所需的参数个数；$\rank(\mx{A})$ 则刻画方程 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 可解时，右端向量 $\vc{y}$ 所在空间的维数。这两个数之和恰好是 $\mx{A}$ 的列数 $n$。

可把 $\mx{A}$ 看作一个变换或线性映射（见第 9 章），而 $n$ 是 $\mx{A}$ 定义域的维数。 这样，$\rank(\mx{A})$ 可理解为施加 $\mx{A}$ 后“保留下来”的维数，$\nullity(\mx{A})$ 则是被 $\mx{A}$“压缩掉”的维数。

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第 7 章介绍了方阵行列式的多种计算方法。利用子式（见定义 7.8），也可求矩阵的秩，如下述定理所示。

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由定理 8.9与定理 7.8可知，$n\times n$ 方阵 $\mx{A}$ 可逆的必要条件是 $\rank(\mx{A})=n$。

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上一例说明，由测量值构造的矩阵 $\mathbf{B}$ 与待求参数满足 $\mathbf{B}=\mathbf{R}^\T\mathbf{S}$。那么，如何由 $\mathbf{B}$ 求出 $\mathbf{R}$ 与 $\mathbf{S}$？换言之，如何把 $\mathbf{B}$ 分解成两个因子之积？这属于矩阵分解的范畴，在许多应用中非常有用，但已超出本书范围。