第 2 章：向量（沉浸式线性代数）

本书用斜体大写字母表示点，例如 $A$、$B$ 和 $Q$。前几章的大部分内容会使用二维点和三维点，偶尔也会使用一维点。我们先给出向量的定义。

定义 2.1：向量
设 $A$ 和 $B$ 为两点。从 $A$ 指向 $B$ 的有向线段记作：

\begin{equation} \overrightarrow{AB}. \end{equation}

(2.1)

这条有向线段构成一个向量。若平移一条有向线段后能与另一条方向和长度均相同的有向线段重合，则二者表示同一个向量。

$A$

$B$

$\overrightarrow{AB}$

$C$

$D$

$\overrightarrow{CD} = \vc{v}$

例如，交互式图解 2.2中的两条有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{CD}$ 表示同一个向量。单击“前进”按钮即可看出这一点。

我们说 $\overrightarrow{AB}$ 是一个向量，并且

\begin{equation} \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}. \end{equation}

(2.2)

向量还可以简写为单个黑体字母，例如 $\vc{v}$。如图所示，$\vc{v} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$。有些教材区分有向线段和向量，把简写 $\vc{v}$ 专用于真正的向量，而用较长的 $\overrightarrow{AB}$ 表示有向线段。这种区分在数学上或许更为严谨，但本书忽略二者的区别，把向量与有向线段视为同一概念。

为方便起见，我们还会使用向量的起点和终点这两个术语：箭头所在的一端是终点，另一端是起点。

一个向量完全由以下两项确定：

方向；
长度。

请注意，其中没有向量的起始位置。只要方向和长度不变，就可以把它平移到任意位置。交互式图解 2.3 展示了这一点。

交互式图解 2.3：向量没有固定的起始位置。图中把这个向量画在某处，但即使平移到别处，它仍是同一个向量。单击或点按前进来移动向量。

$\vc{u}$

向量的长度记作 $\ln{\overrightarrow{AB}}$，也可简写为 $\ln{\vc{v}}$。

\begin{equation} \text{向量的长度：}\spc\spc \ln{\vc{v}} \end{equation}

(2.3)

向量的长度是一个标量，也就是像 $7.5$ 这样的普通数。这里使用“标量”一词，是为了强调它只是一个数，而不是向量或点。向量长度的具体计算方法将在第 3 章介绍。

请注意，点的顺序很重要。也就是说，若交换 $A$ 与 $B$ 的顺序，就会得到另一个向量 $\overrightarrow{BA}$。它的方向相反，但长度相同，即 $\ln{\overrightarrow{AB}} = \ln{\overrightarrow{BA}}$。甚至 $\overrightarrow{AA}$ 也是一个向量，称为零向量，见下面的定义。

定义 2.2：零向量
零向量记作 $\vc{0}$，可以用起点与终点为同一点的有向直线段表示，即 $\vc{0}=\overrightarrow{AA}$。注意 $\ln{\vc{0}}=0$，也就是说，零向量的长度为零。

若两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 方向相同或相反，则称它们平行；它们的长度不必相同。右侧的图 2.4展示了这一点。你可以改变图中的向量：有些向量可拖动端点改变，有些则可拖动起点改变。记号

\begin{equation} \vc{u}\, ||\, \vc{v} \end{equation}

(2.4)

表示 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 平行。我们约定零向量 $\vc{0}$ 与其他所有向量都平行。接下来，我们先说明如何将两个向量相加得到一个新向量，再在第 2.3 节介绍向量数乘。

线性代数中有两种基本的向量运算，即向量加法和向量数乘，后者有时也简称为数乘。本书的大部分数学内容都建立在这两种运算之上，即使是最复杂的运算，往往也能归结为加法与数乘。第 2.3 节将介绍向量数乘，本节则先介绍向量加法。所幸，向量加法和向量数乘都符合我们的直觉。

定义 2.3：向量加法
两个向量 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 的和 $\vc{u}+\vc{v}$ 可按如下方式构造：先把 $\vc{u}$ 放在任意位置，再平移 $\vc{v}$，使 $\vc{v}$ 的起点与 $\vc{u}$ 的端点重合。于是，从 $\vc{u}$ 的起点指向 $\vc{v}$ 端点的向量就是 $\vc{u}+\vc{v}$。

下面的交互式图解 2.5展示了向量和的具体构造过程。

交互式图解 2.5：图中给出了两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，我们将把它们相加，得到向量和 $\vc{u} + \vc{v}$。与往常一样，拖动向量的端点即可改变向量。单击或点按前进，进入插图的下一阶段。

交互式图解 2.5：图中给出了两个向量 $\hid{\vc{u}}$ 和 $\hid{\vc{v}}$，我们将把它们相加，得到向量和 $\hid{\vc{u} + \vc{v}}$。与往常一样，拖动向量的端点即可改变向量。单击或点按前进，进入插图的下一阶段。

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

到目前为止，我们只在平面中，也就是二维空间中，展示了向量加法。三维空间中的向量加法同样可以直观呈现，见下面的交互式图解 2.6。按住鼠标右键并移动鼠标，或用双指滑动，即可旋转图形。

交互式图解 2.6：图中给出了两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$，我们将把它们相加，得到向量和 $\vc{u} + \vc{v}$。与往常一样，拖动向量的端点即可改变向量；此时，端点会在屏幕所在平面内移动。单击或点按前进，进入插图的下一阶段。

交互式图解 2.6：在最后一个阶段，我们添加了一些虚线辅助线，以便看清空间关系。按住鼠标右键并移动鼠标，可以从另一个视角观察向量加法；在平板电脑上，用双指滑动即可完成相同操作。通过这样改变视角，你可以验证 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{u}+\vc{v}}$ 都位于同一平面内。还可以试着移动向量，使各点在屏幕上的投影不再落在同一条直线上。

$\vc{u}$

$\vc{u}+\vc{v}$

$\vc{v}$

在打砖块游戏 2.1中，我们看到小球的速度在一段时间后提高了 50%。这就是向量数乘的一个例子：速度向量乘上了标量 $1.5$。数乘的标量也可以为负数，下面的定义概括了所有情形。

定义 2.4：向量数乘
向量 $\vc{v}$ 乘以标量 $k$，得到向量 $k\vc{v}$。它与 $\vc{v}$ 平行，长度为 $\abs{k}\,\ln{\vc{v}}$。若 $k$ 为负数，$k\vc{v}$ 与 $\vc{v}$ 方向相反；否则二者方向相同。若 $k=0$，则 $k\vc{v}=\vc{0}$。

由此可得一个推论：若两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 对某个标量 $k$ 满足 $\vc{u} = k \vc{v}$，则 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 平行。

下面的交互式图解 2.7展示了向量数乘。不妨亲自动手试一试。

交互式图解 2.7：这里展示了向量 $\vc{v}$ 乘以标量 $k$ 得到 $k\vc{v}$ 的过程。你可以移动向量 $\vc{v}$，也可以拖动插图下方的滑块来改变 $k$ 的值。请观察 $k$ 为负数时 $k\vc{v}$ 的变化。作为练习，试着让 $\vc{v}$ 的端点与 $k\vc{v}$ 的端点重合。

交互式图解 2.7：这里展示了向量 $\hid{\vc{v}}$ 乘以标量 $\hid{k}$ 得到 $\hid{k\vc{v}}$ 的过程。你可以移动向量 $\hid{\vc{v}}$，也可以拖动插图下方的滑块来改变 $\hid{k}$ 的值。请观察 $\hid{k}$ 为负数时 $\hid{k\vc{v}}$ 的变化。作为练习，试着让 $\hid{\vc{v}}$ 的端点与 $\hid{k\vc{v}}$ 的端点重合。

$k=$

$\vc{v}$

$k\vc{v}$

既然已经会做向量加法，也会用实数对向量进行数乘，那么向量减法也就顺理成章了。下面通过一个例子加以说明。

例 2.1：向量减法
利用向量加法（定义 2.3）和乘以 $-1$ 的向量数乘（定义 2.4），可以按下式从向量 $\vc{u}$ 中减去向量 $\vc{v}$：

\begin{equation} \underbrace{\vc{u} + (\underbrace{-1\vc{v}}_{\text{数乘}})}_{\text{加法}} = \vc{u}-\vc{v}, \end{equation}

(2.5)

这里引入了简写记号 $\vc{u}-\vc{v}$，表示等号左侧的表达式。下面用插图说明向量减法。

交互式图解 2.8：这里展示向量减法 $\vc{u}-\vc{v}$。首先只显示两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$。

交互式图解 2.8：最后可以看到，$\hid{\vc{u}-\vc{v}}$ 就是从 $\hid{\vc{v}}$ 的端点指向 $\hid{\vc{u}}$ 端点的向量。你可以移动红色向量（$\hid{\vc{u}}$）和绿色向量（$\hid{\vc{v}}$）。作为练习，试着将 $\hid{\vc{u}}$ 或 $\hid{\vc{v}}$ 设为零向量，再试试令 $\hid{\vc{u}=\vc{v}}$，观察会发生什么。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$-\vc{v}$

$\vc{u}-\vc{v}$

例 2.2：盒子
本例将说明如何用三个两两垂直的向量构造一个盒子。

交互式图解 2.9：本例中有红、绿、蓝三个向量，它们被约束为两两垂直，但长度可以交互调整。下面将展示如何用这些向量构造一个盒子。

向量加法与向量数乘遵循若干运算律，这正是下一节的主题。

利用向量加法和向量数乘进行运算相当直观，它们的性质也大致符合我们的预期。不过，像 $\vc{u}+(\vc{v}+\vc{w})=(\vc{u}+\vc{v})+\vc{w}$ 这样的等式仍须证明。定理 2.1概括了这些运算律。

定理 2.1：向量运算的性质
设 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 是同一向量空间中的向量，$k$ 和 $l$ 是标量，则下列运算律成立：

\begin{gather} \begin{array}{llr} (i) & \vc{u}+\vc{v} = \vc{v}+\vc{u} & \spc\text{（交换律）} \\ (ii) & (\vc{u}+\vc{v})+\vc{w} = \vc{u}+(\vc{v}+\vc{w}) & \spc\text{（结合律）} \\ (iii) & \vc{v}+\vc{0} = \vc{v} & \spc\text{（零向量的存在性）} \\ (iv) & \vc{v}+ (-\vc{v}) = \vc{0} & \spc\text{（负向量的存在性）} \\ (v) & k(l\vc{v}) = (kl)\vc{v} & \spc\text{（结合律）}\\ (vi) & 1\vc{v} = \vc{v} & \spc\text{（数乘单位元）} \\ (vii) & 0\vc{v} = \vc{0} & \spc\text{（标量零）} \\ (viii) & k\vc{0} = \vc{0} & \spc\text{（零向量）} \\ (ix) & k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v} & \spc\text{（分配律 1）} \\ (x) & (k+l)\vc{v} = k\vc{v}+l\vc{v} & \spc\text{（分配律 2）} \\ \end{array} \end{gather}

(2.6)

尽管上述大多数（乃至全部）运算律都显得自然直观，但仍须加以证明。建议你阅读这些证明，尤其要体验其中的交互式图解，它们有助于培养对这些运算律的直观认识。

证明：

$(i)$ 这一运算律（交换律）已经在定义 2.3的插图中得到证明。下面的交互式图解 2.10给出了另一种证明方法。

交互式图解 2.10：本交互式图解展示向量加法的交换律，即 $\vc{u}+\vc{v}=\vc{v}+\vc{u}$。单击或点按前进继续。

交互式图解 2.10：最后，左右两边也都显示另一条平移后的向量。可以看到，无论两个向量按何种顺序相加，所得向量和都相同。别忘了，你可以移动这些向量。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{u}+\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{v}+\vc{u}}$

$(ii)$ 交互式图解 2.11给出了这一运算律（结合律）的证明。

交互式图解 2.11：考虑三个向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$。由于向量没有固定的起点，我们把它们首尾相接：让 $\vc{v}$ 从 $\vc{u}$ 的端点出发，再让 $\vc{w}$ 从 $\vc{v}$ 的端点出发。

交互式图解 2.11：考虑三个向量 $\hid{\vc{u}}$、$\hid{\vc{v}}$ 和 $\hid{\vc{w}}$。由于向量没有固定的起点，我们把它们首尾相接：让 $\hid{\vc{v}}$ 从 $\hid{\vc{u}}$ 的端点出发，再让 $\hid{\vc{w}}$ 从 $\hid{\vc{v}}$ 的端点出发。

$\textcolor{#aa0000}{\vc{u}}$

$\textcolor{#00aa00}{\vc{v}}$

$\textcolor{#0000aa}{\vc{w}}$

$\textcolor{#00aaaa}{\vc{v}+\vc{w}}$

$\vc{u}+(\vc{v}+\vc{w})$

$\textcolor{#aaaa00}{\vc{u}+\vc{v}}$

$(\vc{u}+\vc{v})+\vc{w}$

$\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$

$(iii)$ 由于零向量的长度为零，根据向量加法的定义，$\vc{v}+\vc{0}$ 与 $\vc{v}$ 是同一个向量。
$(iv)$ 由于 $-\vc{v}$ 与 $\vc{v}$ 方向恰好相反，二者之和为零向量。
$(v)$ 证明思路是先从等号左边入手，确定所得向量的方向和长度，再对等号右边作同样的分析。具体细节留作练习。
$(vi)$ 由于 $1$ 是正数，$1\vc{v}$ 与 $\vc{v}$ 方向相同，只需再验证二者长度相等。等号左边的长度为 $\abs{1}\,\ln{\vc{v}}=\ln{\vc{v}}$，右边的长度也是 $\ln{\vc{v}}$，故该运算律成立。
$(vii)$ 与 $(viii)$ 首先要注意二者的区别。$(vii)$ 是标量零乘以 $\vc{v}$ 等于零向量；$(viii)$ 则是标量 $k$ 乘以零向量仍等于零向量。$(vii)$ 实际上已包含在定义 2.4中，因此只需证明 $(viii)$。$k\vc{0}$ 与 $\vc{0}$ 的长度均为零，故该运算律成立。
$(ix)$ 请先查看交互式图解 2.12。务必反复按前进，直到插图的最后一个阶段。插图之后将给出分配律的形式证明。

交互式图解 2.12：本插图帮助说明运算律 $k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$。首先只显示两个向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 及其和 $\vc{u}+\vc{v}$。按前进继续。

交互式图解 2.12：最后也显示向量 $\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$。小三角形 $\hid{\triangle O A_1 B_1}$ 与大三角形 $\hid{\triangle O A_2 B_2}$ 相似：它们在 $\hid{A_1}$ 与 $\hid{A_2}$ 处的角相等，且边 $\hid{\vc{v}}$、$\hid{\vc{u}}$ 分别与 $\hid{k\vc{v}}$、$\hid{k\vc{u}}$ 成比例。因此，$\hid{k\vc{u}}$ 与 $\hid{k\vc{v}}$ 相加到达的点为 $\hid{k\vc{u}+k\vc{v}}$，它与 $\hid{k(\vc{u}+\vc{v})}$ 相同。按住鼠标右键并移动鼠标，可以从另一个视角观察向量加法；在平板电脑上，用双指滑动即可完成相同操作。

$k=$

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u} + \vc{v}$

$k\vc{u}$

$k\vc{v}$

$k(\vc{u} + \vc{v})$

$O$

$A_1$

$A_2$

$B_1$

$B_2$

由向量数乘（定义 2.4）可知

\begin{align} \ln{k\vc{u}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{u}}, \\ \ln{k\vc{v}} &= \abs{k}\,\ln{\vc{v}}, \end{align}

(2.7)

若 $k>0$，则 $\vc{u}$ 与 $k\vc{u}$ 方向相同，$\vc{v}$ 与 $k\vc{v}$ 也方向相同。若 $k<0$，则上述两对向量分别方向相反。因此，由三个点 $\{O$，$O+\vc{u}$，$O+\vc{u}+\vc{v}\}$ 构成的三角形，与由 $\{O$，$O+k\vc{u}$，$O+k\vc{u}+k\vc{v}\}$ 构成的三角形相似。这两个三角形相似，还意味着 $O$、$O+\vc{u}+\vc{v}$ 与 $O+k\vc{u}+k\vc{v}$ 位于同一条直线上。此外，根据三角形相似性和式 (2.7)，可知

\begin{equation} \ln{k(\vc{u}+\vc{v})} = \abs{k}\,\ln{\vc{u}+\vc{v}}. \end{equation}

(2.8)

若 $k>0$，则 $k(\vc{u}+\vc{v})$ 与 $\vc{u}+\vc{v}$ 方向相同；若 $k<0$，则二者方向相反。因此 $k(\vc{u}+\vc{v}) = k\vc{u}+k\vc{v}$。当 $k=0$ 时该等式显然成立，故这一运算律得证。
$(x)$ 此式与 $(ix)$ 类似但更简单，留作练习。
至此，定理 2.1的各项均已证明。

$\square$

例 2.3：三个向量相加
为了理解两个以上向量的向量加法，下面的交互式图解 2.13展示三个向量相加。由于向量加法满足结合律，可以省略括号，直接写成 $\vc{u}+\vc{v}+\vc{w}$。

交互式图解 2.13：本交互式图解展示左侧三个向量的加法。这些向量可以像往常一样移动；单击或点按前进即可推进演示。

交互式图解 2.13：最后显示黑色向量，它就是三个向量之和。左侧向量仍可移动：在靠近向量端点处按下鼠标并拖动即可。作为练习，试着让三个向量之和为零，使右侧出现一个三角形。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{w}$

计算两点的中点常常很有用。下面的定理给出了相应公式。

定理 2.2：中点公式

$A$

$B$

$M$

$O$

如右图所示，设 $M$ 是连接 $A$ 与 $B$ 的直线段的中点，$O$ 是另一点。则从 $O$ 指向 $M$ 的向量 $\overrightarrow{OM}$ 可写为

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.9)

证明：

向量 $\overrightarrow{OM}$ 是 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{AM}$ 之和：

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM}. \end{equation}

(2.10)

换句话说，从 $O$ 到 $M$，既可以先从 $O$ 到 $A$，再从 $A$ 到 $M$（等式右边）；也可以直接从 $O$ 到 $M$（等式左边）。

若改为经过 $B$，则有

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.11)

将以上两式相加，得到

\begin{equation} 2\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{BM}. \end{equation}

(2.12)

由于 $\overrightarrow{BM}$ 与 $\overrightarrow{AM}$ 长度相等、方向相反，必有 $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AM}$。将其代入上式并除以 $2$，得到

\begin{equation} \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}). \end{equation}

(2.13)

有时也采用更简洁的记法：

\begin{equation} M = \frac{1}{2}(A + B) \end{equation}

(2.14)

$\square$

例 2.4：利用中点定理构造谢尔宾斯基三角形
下面说明如何利用中点公式生成一种称为谢尔宾斯基三角形的几何图形。设有一个由三点 $A$、$B$ 和 $C$ 构成的三角形。利用定理 2.2，可以求出每条边的中点。连接这些中点会形成四个新的三角形，其中中央三角形留空。对每个新生成的非空三角形重复此过程，最终便得到谢尔宾斯基三角形。下面的交互式图解 2.15展示了这一过程。

交互式图解 2.15：本插图展示谢尔宾斯基三角形的构造方法。首先用三个可移动的点 $A$、$B$ 和 $C$ 连接成一个三角形。

交互式图解 2.15：本插图展示谢尔宾斯基三角形的构造方法。首先用三个可移动的点 $\hid{A}$、$\hid{B}$ 和 $\hid{C}$ 连接成一个三角形。

$A$

$B$

$C$

$M_1 = \frac{1}{2}(A + B)$

$M_2 = \frac{1}{2}(B + C)$

$M_3 = \frac{1}{2}(A + C)$

例 2.5：质心公式

$A$

$B$

$C$

$A'$

$O$

$M$

$2$

$1$

$B'$

$2$

$1$

$M$

在三角形 $ABC$ 中，点 $A'$ 是 $B$ 与 $C$ 的中点。从 $A$ 到 $A'$ 的直线段称为从 $A$ 引出的中线。如右图所示，设点 $M$ 将这条中线按 $2:1$ 分割。

质心公式为

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.15)

证明如下。从 $O$ 到 $M$，既可以直接到达，也可以经过 $A$，因此

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA} + \pvec{AM}. \end{equation}

(2.16)

也可以经过 $A'$ 到达 $M$，于是

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} + \pvec{A'M}. \end{equation}

(2.17)

根据假设，$\pvec{A'M}$ 的长度是 $\pvec{AM}$ 的一半，且方向相反，因此 $\pvec{A'M} = -\frac{1}{2}\pvec{AM}$。代入上式，得到

\begin{equation} \pvec{OM} = \pvec{OA'} -\frac{1}{2}\pvec{AM}. \end{equation}

(2.18)

将式 (2.16)与式 (2.18)的两倍相加，可以消去 $\pvec{AM}$：

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\pvec{OA'}. \end{equation}

(2.19)

由于 $A'$ 是 $B$ 与 $C$ 的中点，根据中点公式有 $\pvec{OA'} = \frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC})$。代入上式，得到

\begin{equation} \pvec{3OM} = \pvec{OA} + 2\cdot\frac{1}{2}(\pvec{OB} + \pvec{OC}), \end{equation}

(2.20)

化简得

\begin{equation} \pvec{OM} = \frac{1}{3}(\pvec{OA} + \pvec{OB} + \pvec{OC}). \end{equation}

(2.21)

证毕。

注意，由于公式具有对称性，它同样适用于从 $B$ 引出的中线。同一个点 $M$ 也会把从 $B$ 到 $B'$ 的中线按 $2:1$ 分割。按插图中的“前进”即可看到这一点。

这个点也称为质心。若用硬纸板剪出这个三角形，把铅笔尖顶在该点，三角形就能保持平衡，“质心”之名由此而来。若在 $A$、$B$、$C$ 三点放置质量相等的质点，$M$ 同样是整个系统的平衡点。

你或许已经熟悉坐标系的概念，例如下面交互式图解 2.17第一阶段中的地图。此时两条坐标轴彼此垂直且长度相等，但这只是特殊情形；按前进即可看到更一般的情况。本节将介绍一般的坐标系，以及向量、基和坐标之间的关系。

交互式图解 2.17：一幅带有普通坐标系的地图。地图中心标为原点，水平箭头表示 $x$ 轴，竖直箭头表示 $y$ 轴。在局部范围内，这两条轴类似经线与纬线；但由于地球并非平面，这种类比在全球尺度上并不成立。单击或点按前进，进入下一阶段。

交互式图解 2.17：一幅带有普通坐标系的地图。地图中心标为原点，水平箭头表示 $\hid{x}$ 轴，竖直箭头表示 $\hid{y}$ 轴。在局部范围内，这两条轴类似经线与纬线；但由于地球并非平面，这种类比在全球尺度上并不成立。单击或点按前进，进入下一阶段。

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$x$

$y$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

接下来，我们分别定义一维、二维和三维空间中的坐标，见下面几个定理。

定理 2.3：一维坐标

$\vc{e}$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

设 $\vc{e}$ 是一条直线上的非零向量。对该直线上的任意向量 $\vc{v}$，存在唯一的数 $x$，使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}. \end{equation}

(2.22)

（右图中的向量 $\vc{v}$ 可以移动。）

证明：

若 $\vc{e}$ 与 $\vc{v}$ 方向相同，取 $x=\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$；若方向相反，取 $x=-\ln{\vc{v}}/\ln{\vc{e}}$。最后，若 $\vc{v}=\vc{0}$，则取 $x=0$。由向量数乘 $x\vc{e}$ 的定义可知，$x$ 是满足 $\vc{v} = x\vc{e}$ 的唯一实数。

$\square$

我们称 $\vc{e}$ 为一个基向量，称 $x$ 为 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}\}$ 下的坐标。

目前看来似乎平平无奇，但推广到下一步后，这一结论就大有用处了。

定理 2.4：二维坐标

$\vc{e}_1$

$\textcolor{#aa0000}{\vc{v}}$

$\vc{e}_2$

$O$

$P_1$

$P_2$

设 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 是同一平面内两个不平行的向量。对该平面内的任意向量 $\vc{v}$，存在唯一的坐标对 $(x,y)$，使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2. \end{equation}

(2.23)

（图中的向量 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 均可移动。）

证明：

证明将用到交互式图解 2.19。如图，从 $\vc{v}$ 的端点作一条平行于 $\vc{e}_2$ 的直线，与 $\vc{e}_1$ 所在直线相交于 $P_1$。同理，从 $\vc{v}$ 的端点作一条平行于 $\vc{e}_1$ 的直线，与 $\vc{e}_2$ 所在直线相交于 $P_2$。显然

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{O P_1} + \overrightarrow{O P_2}. \end{equation}

(2.24)

令 $\vc{u} = \overrightarrow{O P_1}$，$\vc{w} = \overrightarrow{O P_2}$。以 $\vc{e}_1$ 为基向量，对 $\vc{u}$ 应用定理 2.3，可得 $\vc{u} = x \vc{e}_1$。同理，以 $\vc{e}_2$ 为基向量，对 $\vc{w}$ 应用该定理，可得 $\vc{w} = y \vc{e}_2$。因此向量 $\vc{v}$ 可表示为

\begin{equation} \vc{v} = \vc{u} + \vc{w} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2. \end{equation}

(2.25)

还需证明 $\vc{v}$ 的表示中 $x$ 与 $y$ 是唯一的。若表示不唯一，则存在另一个坐标对 $(x',y')$，使得

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2. \end{equation}

(2.26)

联立式 (2.25)与式 (2.26)，得到

\begin{gather} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2= x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ (x-x') \vc{e}_1 = (y'-y) \vc{e}_2. \end{gather}

(2.27)

由此可知，若存在另一种表示 $(x',y')$，则 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$ 必须平行（见式 (2.27)最后一行）。例如，若 $x'\neq x$，则 $(x-x') \neq 0$，等式两边同除以 $(x-x')$，得到

\begin{gather} \vc{e}_1 = \frac{(y'-y)}{(x-x')} \vc{e}_2, \end{gather}

(2.28)

令 $k = \frac{(y'-y)}{(x-x')}$，上式可写为 $\vc{e}_1 = k \vc{e}_2$。但根据定义 2.4后的推论，这意味着 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$ 平行，与定理 2.4的假设矛盾。若 $y'-y\neq 0$，同理可得矛盾。因此，由反证法可知，对每个向量 $\vc{v}$，坐标对 $(x,y)$ 都是唯一的。

$\square$

我们称 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$ 为基向量，称 $x$ 和 $y$ 为 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2\}$ 下的坐标。

下面将这一结论推广到三维空间。

定理 2.5：三维坐标
设 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 是三个非零向量，且不存在一个同时与这三个向量平行的平面。对三维空间中的任意向量 $\vc{v}$，存在唯一的坐标三元组 $(x,y,z)$，使得

\begin{equation} \vc{v} = x\vc{e}_1 + y\vc{e}_2 + z\vc{e}_3. \end{equation}

(2.29)

证明：

如交互式图解 2.20所示，先将 $\vc{v}$、$\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 的起点都置于原点。设 $\pi_{12}$ 是经过 $O$ 且包含 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$ 的平面，$P$ 是 $\vc{v}$ 的端点，即 $\vc{v} = \overrightarrow{OP}$。

$O$

$P_{12}$

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

$\vc{e}_3$

$P$

$\pi_{12}$

交互式图解 2.20：从三个向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 开始，将它们的起点都置于点 $O$。

交互式图解 2.20：综上，从 $\hid{O}$ 到 $\hid{P}$ 可以先经过 $\hid{P_{12}}$：$\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}}$。再代入 $\hid{\overrightarrow{OP_{12}} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2}$ 与 $\hid{\overrightarrow{P_{12}P} = z\vc{e}_3}$，得到 $\hid{\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P} = x\vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z\vc{e}_3}$。

过 $P$ 作一条平行于 $\vc{e}_3$ 的直线，与平面 $\pi_{12}$ 相交于 $P_{12}$。于是显然可将 $\vc{v}$ 写成

\begin{equation} \vc{v} = \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OP_{12}} + \overrightarrow{P_{12}P}. \end{equation}

(2.30)

根据定理 2.4（二维坐标），$\overrightarrow{OP_{12}}$ 可写为 $\overrightarrow{OP_{12}} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2$；根据定理 2.3（一维坐标），$\overrightarrow{P_{12}P}$ 可写为 $\overrightarrow{P_{12}P} = z \vc{e}_3$。因此存在三个数 $x$、$y$ 和 $z$，使得

\begin{equation} \vc{v} = x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3. \end{equation}

(2.31)

现在还须证明 $x$、$y$、$z$ 具有唯一性。假设存在另一组数 $x'$、$y'$、$z'$，也能生成同一向量 $\vc{v}$，即

\begin{equation} \vc{v} = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.32)

联立式 (2.31)与式 (2.32)，得到

\begin{equation} x \vc{e}_1 + y \vc{e}_2 + z \vc{e}_3 = x' \vc{e}_1 + y' \vc{e}_2 + z' \vc{e}_3. \end{equation}

(2.33)

移项可得

\begin{equation} (x-x') \vc{e}_1 + (y-y') \vc{e}_2 + (z-z') \vc{e}_3 = 0. \end{equation}

(2.34)

若新数组 $(x',y',z')$ 与原数组 $(x,y,z)$ 不同，则上式至少有一个系数不为零。不妨设 $(x-x')\neq 0$（否则可重命名向量与标量，使不为零的是这一项）。等式两边同除以 $(x-x')$，得到

\begin{equation} \vc{e}_1 = - \frac{(y-y')}{(x-x')} \vc{e}_2 - \frac{(z-z')}{(x-x')}\vc{e}_3, \end{equation}

(2.35)

也可写成

\begin{equation} \vc{e}_1 = \alpha \vc{e}_2 + \beta \vc{e}_3, \end{equation}

(2.36)

其中 $\alpha = - \frac{(y-y')}{(x-x')}$，$\beta = - \frac{(z-z')}{(x-x')}$。但这意味着 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$、$\vc{e}_3$ 位于同一平面内（见定理 2.4），这与不存在同时平行于 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 的平面这一假设矛盾。因此，不可能存在另一组满足等式的数 $x'$、$y'$、$z'$，证明完毕。

$\square$

与前面类似，我们称 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$ 和 $\vc{e}_3$ 为基向量，称 $x$、$y$、$z$ 为 $\vc{v}$ 在基 $\{\vc{e}_1,\vc{e}_2,\vc{e}_3\}$ 下的坐标。

现在终于可以看出，用坐标表示向量的记法从何而来了。若采用基 $\{\vc{e}_1, \vc{e}_2, \vc{e}_3\}$，则三维向量 $\vc{v}$ 可写为

\begin{equation} \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}, \end{equation}

(2.37)

这里用 $v_x$、$v_y$、$v_z$ 分别代替 $x$、$y$、$z$，这样在同时处理多个不同向量时，仍能清楚区分每个向量的各个分量。注意，等式右端将向量写成由三个数构成的一列：$x$ 坐标在上，$y$ 坐标居中，$z$ 坐标在下。这种记法十分重要，现归纳为如下定义：

定义 2.5：列向量记法
给定一组基，$n$ 维列向量 $\vc{v}$（目前只讨论 $n\in [1,2,3]$）是由 $n$ 个标量竖直排列而成的一列。这些标量分量有时也称为向量元素，可以依次编号为 $v_1$、$v_2$、$v_3$；方便时也可用 $x$、$y$、$z$ 作下标。记法如下：

\begin{gather} \underbrace{ \vc{u} = \begin{pmatrix} u_x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 \end{pmatrix}}_{\text{一维向量}}, \spc\spc \underbrace{ \vc{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}}_{\text{二维向量}}, \spc\spc \\ \underbrace{ \vc{w} = \begin{pmatrix} w_x \\ w_y \\ w_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix}}_{\text{三维向量}}, \end{gather}

(2.38)

其中 $\vc{u} = u_x \vc{e}_1$，$\vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2$， $\vc{w} = w_x \vc{e}_1 + w_y \vc{e}_2 + w_z \vc{e}_3$。

我们也使用更紧凑的向量写法，便于在正文中行内书写。例如 $\vc{w} = \bigl(w_1,w_2,w_3\bigr)$ 与上式含义相同（注意各向量元素之间有逗号）。

本书大多数地方使用上面定义的列向量。因此，若只说“向量”，通常就是指“列向量”。此外还有另一种向量，称为行向量。顾名思义，它由一行标量构成，而不是一列。行向量的一个例子是：

\begin{equation} \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.39)

无论行向量还是列向量，都可以做转置运算。转置会把行向量变为列向量，也会把列向量变为行向量。向量 $\vc{v}$ 的转置记作 $\vc{v}^T$。例如：

\begin{equation} \vc{v} = \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 5 \end{pmatrix}, \spc\spc\spc \vc{v}^\T = \bigl(1\spc 2\spc 5 \bigr). \end{equation}

(2.40)

下面将向量转置归纳为一个定义：

定义 2.6：向量的转置
向量 $\vc{v}$ 的转置记作 $\vc{v}^\T$。转置将列向量变为行向量，将行向量变为列向量，并保持各分量的次序不变。

根据这个定义，向量连续转置两次会还原为自身，即 $\bigl(\vc{v}^T\bigr)^T = \vc{v}$。下面再归纳行向量的定义：

定义 2.7：行向量记法
行向量表示为列向量的转置，如下所示：

\begin{equation} \underbrace{ \vc{v}^\T = \bigl( v_x \spc v_y \bigr) }_{\text{二维行向量}}, \spc \spc \underbrace{ \vc{w}^\T = \bigl( w_x \spc w_y \spc w_z \bigr) }_{\text{三维行向量}}. \end{equation}

(2.41)

注意，行向量的各个元素之间从不加逗号。逗号只用于列向量的紧凑记法（见定义 2.5）。

现在设两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 在同一组基下表示，即

\begin{equation} \vc{u} = u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ u_z \end{pmatrix} \spc\spc \text{以及} \spc\spc \vc{v} = v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3= \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}. \end{equation}

(2.42)

向量和 $\vc{u}+\vc{v}$ 为：

\begin{align} \vc{u}+\vc{v} &= u_x \vc{e}_1 + u_y \vc{e}_2 + u_z \vc{e}_3 + v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3 \\ &=(u_x+v_x)\vc{e}_1 + (u_y+v_y)\vc{e}_2 + (u_z+v_z)\vc{e}_3 \\ &= \begin{pmatrix} u_x+v_x \\ u_y+v_y \\ u_z+v_z \end{pmatrix}. \end{align}

(2.43)

可以看到，向量加法归结为对应分量上的标量加法。对于向量数乘 $k\vc{v}$，有：

\begin{align} k\vc{v} &= k (v_x \vc{e}_1 + v_y \vc{e}_2 + v_z \vc{e}_3) \\ &= (k v_x) \vc{e}_1 + (k v_y) \vc{e}_2 + (k v_z) \vc{e}_3\\ &= \begin{pmatrix} k v_x \\ k v_y \\ k v_z \end{pmatrix}, \end{align}

(2.44)

可见，向量的每个分量都乘以 $k$。

例 2.6：用坐标进行向量加法与数乘
设同一组基下有如下向量：

\begin{equation} \vc{u} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right), \spc \spc \vc{v} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right), \spc \spc \text{以及} \spc \spc \vc{w} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right), \end{equation}

(2.45)

现在要求 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w}$。如上所示，向量加法只需将对应的向量元素相加：

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = \left( \begin{array}{r} 3 \\ -4 \\ 7 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 3+1 \\ -4+2 \\ 7+5 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right). \end{equation}

(2.46)

也可以用标量对向量作数乘，例如取 $k=2$：

\begin{equation} 2\vc{w} = 2 \left( \begin{array}{r} 2 \\ -1 \\ 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2\cdot 2 \\ 2\cdot (-1) \\ 2\cdot 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 4 \\ -2 \\ 12 \end{array} \right), \end{equation}

(2.47)

因此 $\vc{u} + \vc{v} - 2\vc{w} = \vc{0}$。

许多计算都采用一种简单直观的基，称为标准基，定义如下。

定义 2.8：标准基
本书在二维与三维空间中采用的标准基如下：

\begin{gather} \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }_{\mathrm{二维标准基}} \ \ \mathrm{以及} \\ \ \\ \underbrace{ \vc{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vc{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. }_{\mathrm{三维标准基}} \end{gather}

(2.48)

一般地，在 $n$ 维标准基中，基向量 $\vc{e}_i$ 除第 $i$ 个分量为 $1$ 外，其余分量均为 $0$。

第 3 章将讨论不同类型的基，并会看到标准基实际上是一组标准正交基（第 3.3 节）。

例 2.7：标准基下的加法
本例用图示说明标准基下的向量加法，帮助你建立更直观的认识，见交互式图解 2.21。回顾一下，二维标准基的基向量是 $\vc{e}_1=(1,0)$ 和 $\vc{e}_2=(0,1)$。

交互式图解 2.21：这里显示标准基下的两个向量。单击或点按前进继续。

交互式图解 2.21：蓝色向量的各坐标，正是红色向量与绿色向量对应坐标之和。例如，蓝色向量的 $\hid{x}$ 坐标就是红、绿向量的 $\hid{x}$ 坐标之和。在红色或绿色向量的端点附近按下鼠标或触屏拖动，即可移动向量。

$\vc{u}$

$\vc{v}$

$\vc{u}+\vc{v}$

下面用两个直观的例子进一步说明坐标系、基向量、唯一性与坐标。

例 2.8：同一点在不同基下的表示
采用不同的基向量时，同一点会有不同的坐标，见交互式图解 2.22。请注意：基向量变化时，坐标也随之变化，但点的位置始终不变。

交互式图解 2.22：这里展示同一点 $P$ 在不同坐标系中的表示。第一阶段采用普通坐标系：第一基向量 $\vc{e}_1$（红色粗箭头）与第二基向量 $\vc{e}_2$（绿色粗箭头）互相垂直且长度相等。坐标 $(2,1)$ 表示从原点出发，沿 $\vc{e}_1$ 走两步，再沿 $\vc{e}_2$ 走一步，最终到达 $P$。

交互式图解 2.22：这是另一个例子，其中 $\hid{P}$ 的坐标为 $\hid{(3,1)}$。你可以移动两个基向量和点 $\hid{P}$，坐标会相应调整。还要注意，若两个基向量几乎平行，坐标值就会急剧增大并变得很不稳定。这并不奇怪：如果两个向量完全平行，就只能表示从原点沿第一基向量（或等价的第二基向量）所在直线上的点。若它们仅有细微差别，就必须用很大的系数放大这种差别，才能到达 $\hid{P}$。

$O$

$P = $

$\vc{e}_1$

$\vc{e}_2$

例 2.9：唯一性的直观理解
回到交互式图解 2.22的第二阶段，两个基向量相加恰好得到向量 $\overrightarrow{OP}$，因此必有 $\overrightarrow{OP} = 1.0 \vc{e}_1 + 1.0 \vc{e}_2$。所以 $(1,1)$ 是点 $P$ 的一组有效坐标。但现在基向量不必互相垂直，是否还存在别的坐标也能表示点 $P$？答案是否定的，定理 2.4的证明已经说明了这一点。交互式图解 2.23能帮助你进一步建立直观认识。

交互式图解 2.23：本交互式图解中，粗箭头表示基向量 $\vc{e}_1$ 和 $\vc{e}_2$。点 $P$ 的坐标为 $(2.5,1.0)$：从原点出发，沿 $\vc{e}_1$ 走 $2.5$ 步（红色细箭头），再沿 $\vc{e}_2$ 走一步（绿色细箭头），就会到达 $P$。其他坐标也可以吗？单击或点按前进推进演示。

交互式图解 2.23：本交互式图解中，粗箭头表示基向量 $\hid{\vc{e}_1}$ 和 $\hid{\vc{e}_2}$。点 $\hid{P}$ 的坐标为 $\hid{(2.5, 1.0)}$：从原点出发，沿 $\hid{\vc{e}_1}$ 走 $\hid{2.5}$ 步（红色细箭头），再沿 $\hid{\vc{e}_2}$ 走一步（绿色细箭头），就会到达 $\hid{P}$。其他坐标也可以吗？单击或点按前进推进演示。

本章介绍了向量的概念。第 2.5 节中的向量表示，以及向量加法（定义 2.3）和向量数乘（定义 2.4），都已从几何角度定义。随后，定理 2.1说明这两种运算满足若干性质。这些几何定义适用于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$。在更高维空间中，几何定义很难直接使用。二维和三维向量本身很有用，几何向量也为理解一般的线性空间或向量空间奠定了基础。当问题含有三个以上未知参数时，这套更一般的理论对建模和理解问题尤为重要。你可以先跳过下一节，待有需要时再回来阅读。

本节先定义 $\R^n$。

定义 2.9：实坐标空间
向量空间 $\R^n$ 由所有 $n$ 元组 $\vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ 构成，其中每个 $u_i$ 都是实数。它是实数域 $\R$ 上的向量空间，其中向量加法定义为 $\vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$，向量数乘定义为 $k\vc{v} = (k v_1, k v_2, \ldots, k v_n)$，其中 $k\in \R$。

按照上述向量加法和向量数乘的定义，定理 2.1中的所有性质均成立。

例 2.10：
设 $\vc{u}=(1,2,3,4,5)$ 和 $\vc{v}=(5,4,3,2,1)$ 是 $\R^5$ 中的两个向量。求 $\vc{u}+\vc{v}$、$3\vc{u}$ 和 $3\vc{u}+3\vc{v}$。

\begin{equation} \vc{u}+\vc{v} = (1,2,3,4,5) + (5,4,3,2,1) = (1+5,2+4,3+3,4+2,5+1) = (6,6,6,6,6) \end{equation}

(2.49)

\begin{equation} 3\vc{u}= 3(1,2,3,4,5) = (3 \cdot 1,3 \cdot 2,3 \cdot 3,3 \cdot 4,3 \cdot 5) = (3,6,9,12,15) \end{equation}

(2.50)

\begin{equation} 3\vc{u}+3\vc{v} = 3 (\vc{u}+\vc{v}) = 3 (6,6,6,6,6) = (18,18,18,18,18) \end{equation}

(2.51)

最后一步使用了式 (2.49)中的结果 $\vc{u}+\vc{v}$。

定义 2.10： $\R^n$ 中的基
$\R^n$ 中的一组基是向量集合 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$，使得对每个向量 $\vc{u}\in\R^n$，都存在唯一的一组坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$，满足

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.52)

例 2.11： $\R^n$ 中的标准基
$\R^n$ 中的标准基由下列基向量组成：

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{ll} \vc{e}_1 &= (1, 0, \ldots, 0), \\ \vc{e}_2 &= (0, 1, \ldots, 0), \\ \vdots & \\ \vc{e}_n &= (0, 0, \ldots, 1). \end{array} \end{cases} \end{equation}

(2.53)

2.6.1 一般定义

下面给出向量空间的抽象定义，然后说明实数域上的任意有限维向量空间实际上都与定义 2.9中的 $\R^n$“相同”。

定义 2.11：向量空间
向量空间由一组对象构成的集合 $V$（这些对象称为向量）、一个域 $F$，以及向量加法和向量数乘的定义组成，并且这些运算必须满足定理 2.1中的性质。

向量空间包含一个由对象组成的集合 $V$。稍后的一个例子中，向量空间是所有 $m \times n$ 像素图像构成的集合；另一个例子中，它是所有次数不超过 $5$ 的多项式构成的集合。域 $F$ 中的元素称为标量。域是一个集合，其中的加、减、乘、除运算都有良好定义，并满足通常的运算性质。最常用的域是实数集 $\R$ 或复数集 $\mathbb{C}$，也可以使用更特殊的域，例如模素数的整数域 $\mathbb{Z}_3$。

例 2.12：次数不超过 2 的多项式
实系数且次数不超过 2 的 $x$ 的多项式构成 $\R$ 上的向量空间。设 $u = u_0 + u_1 x + u_2 x^2$，$v = v_0 + v_1 x + v_2 x^2$，其中每个系数 $u_i$ 和 $v_i$ 都是实数。向量加法定义为 $u+v = (u_0+v_0) + (u_1+v_1) x + (u_2+v_2) x^2$，向量数乘定义为 $ku = k u_0 + k u_1 x + k u_2 x^2$。

例 2.13：灰度图像
每个像素强度均为实数的灰度图像构成 $\R$ 上的向量空间。若图像 $u$ 在位置 $(i,j)$ 处的像素强度为 $u_{i,j}$，图像 $v$ 在同一位置的像素强度为 $v_{i,j}$，则向量加法所得图像 $u+v$ 在位置 $(i,j)$ 处的像素强度为 $u_{i,j}+v_{i,j}$。向量数乘所得图像 $ku$ 在位置 $(i,j)$ 处的像素强度为 $k u_{i,j}$。

例 2.14： $\mathbb{Z}_3$ 坐标空间
向量空间 $\mathbb{Z}_3^n$ 定义为所有 $n$ 元组 $\vc{u} = (u_1, u_2, \ldots, u_n)$ 的集合，其中每个 $u_i$ 都是整数 $0$、$1$、$2$ 之一。它是标量集合 $\{0,1,2\}$ 上的向量空间。向量加法定义为 $\vc{u}+\vc{v} = (u_1+v_1, u_2+v_2, \ldots, u_n+v_n)$，向量数乘定义为 $k\vc{v} = (k v_1, k v_2, \ldots, k v_n)$。这里两个标量的加法和乘法均按模 $3$ 计算。

定义 2.12：向量空间中的基
域 $F$ 上有限维向量空间 $V$ 的一组基是向量集合 $\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$，使得对每个向量 $\vc{u} \in V$，都存在唯一的一组坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$（其中 $u_i \in F$），满足

\begin{equation} \vc{u} = \sum_{i=1}^m u_i \vc{e}_i. \end{equation}

(2.54)

基向量的个数 $m$ 称为向量空间的维数。稍后将证明，对给定的向量空间，这个数有良好定义。

定理 2.6：向量空间中的向量
设 $V$ 为 $\R$ 上的向量空间，$\{\vc{e}_1, \ldots, \vc{e}_m\}$ 为一组基。那么每个向量 $\vc{u}$ 都可以与其坐标 $(u_1, \ldots, u_m)$ 对应起来。

因此可以不严格地说，$\R$ 上的每个 $m$ 维向量空间都与 $\R^m$“相同”。

本章介绍了向量的概念，以及向量加法和向量数乘。我们看到，这些运算基本符合直觉，与实数运算十分相似。为了让向量更便于实际使用，我们又引入了基的概念，并看到相对于给定的基，一个三维向量可以用三个标量表示。最后，本章还简要介绍了高维向量空间 $\R^n$。第 3 章将介绍点积，它可用于测量向量长度和夹角。

第 2 章：向量

2.1 点与向量

2.2 向量加法

2.3 向量数乘

2.4 向量运算的性质

2.5 向量的基与坐标

2.6 三维以上的向量空间

2.6.1 一般定义

2.7 小结

2.6.1 一般定义