第 7 章：行列式

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行列式是一个把矩阵 $\mx{A}$ 映射为数值 $\det(\mx{A})$ 的函数。后面将看到，行列式可以由三个简单性质定义。不过在深入细节之前，我们先考察一维、二维和三维情形下行列式的显式表达式。 对于 $1 \times 1$ 矩阵，

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) \end{equation}

(7.3)

行列式就是 $\det(\mx{A}) = a$。 它表示向量的带符号长度

\begin{equation} \vc{a} = \left( \begin{array}{r} a \end{array} \right) . \end{equation}

(7.4)

不难看出，当 $\det(\mx{A}) = a \neq 0$ 时，方程 $ \mx{A} \vc{x} = \vc{b} $ 有唯一解。 当行列式为零且 $\vc{b} \neq \vc{0}$ 时，方程可能无解。 以 $1\times 1$ 矩阵为例，此时方程简化为 $ax=b$；若 $a=0$，方程 $a x = 3$ 就无解。 若 $b = 0$，方程变成 $0 x = 0$，因而有无穷多个解 $x$。

对于 $2 \times 2$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right) \end{equation}

(7.5)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$。 行列式有时用左右各一条竖线括起，因此上式也写作

\begin{equation} \det(\mx{A}) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} . \end{equation}

(7.6)

若把两列看作平面中两个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \begin{pmatrix} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} \end{pmatrix} \end{equation}

(7.7)

那么行列式就是 $\vc{a}_{,1}$ 与 $\vc{a}_{,2}$ 所张成平行四边形的带符号面积。 回忆定义 6.2中的列向量与行向量记法。 交互式图解 7.2直观展示了这一点。 若两个向量具有正（负）定向，行列式的符号就是正（负）；图中相应以绿色（红色）平行四边形表示。试着在图示中改变行列式的符号。

对于 $3 \times 3$ 矩阵

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rr} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right) \end{equation}

(7.8)

行列式为 $\det(\mx{A}) = a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}$。 若把三列看作空间中三个向量的坐标，即

\begin{equation} \mx{A} = \left( \begin{array}{rrr} \vc{a}_{,1} & \vc{a}_{,2} & \vc{a}_{,3} \end{array} \right) \end{equation}

(7.9)

那么行列式就是 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$ 与 $\vc{a}_3$ 所张成平行六面体的体积。 交互式图解 7.3直观展示了 $\vc{a}_{,1}$、$\vc{a}_{,2}$ 与 $\vc{a}_{,3}$ 所张成平行六面体的体积。

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下面稍微简化记法：矩阵 $\mx{A}$ 的列向量 $\vc{a}_{,i}$ 也记作 $\vc{a}_i$。 行列式可以有多种定义方式。 采用哪一种定义只是技术上的选择，所得结果相同。 这里用三个基本性质来定义一般 $n \times n$ 矩阵 $\mx{A}$ 的行列式。

可以证明，满足这三个性质的函数存在且唯一。 行列式存在性与唯一性的证明较为技术化，相比行列式本身的性质并非重点。 为避免遮蔽主线，我们把这些证明留到第 7.3 节。 由这三个基本性质还能推出许多有用的性质，现汇总于定理 7.1。

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乍看之下，性质 $(vi)$ 似乎有悖直觉：行列式与列向量张成的面积或体积有关，而给一个列向量加上另一个向量的倍数会使它变长。既然一个向量变长了，面积为何仍保持不变？交互式图解 7.4解释了其中原因。 利用以上定义和规则便可计算行列式。下面看一个例子。

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本节将证明：确实存在满足 定义 7.1中各项性质的函数，而且这样的函数唯一；同时还会给出计算行列式的公式。为完成证明，需要先引入 $n$ 个数的排列这一概念。 排列的核心思想其实很简单；对一般 $2 \times 2$ 矩阵应用性质 $(i)$–$(vi)$，最能说明问题。

本例通过依次展开各列来计算 $2 \times 2$ 行列式。 对一般 $n \times n$ 矩阵作同样处理，便可得到行列式的显式表达式。 用 $n$ 个数的排列这一概念，可以最简洁地写出该表达式。

排列 $p$ 由它在集合中各元素上的作用确定，也就是由 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$ 确定。 由于 $p$ 是双射，$\{ 1, 2, \ldots, n \}$ 中的每个数在序列 $p(1), p(2), \ldots, p(n)$ 中恰好出现一次。 换言之，这些数被重新排序了。有时记作 $p = [p(1), p(2), \ldots, p(n)]$。

若 $p$ 是 $n$ 个元素的排列，则共有 ${n \choose 2}$ 个数对 $(p(i),p(j))$。其中一些数对的次序正确，即 $(p(i),p(j))$ 与 $(i,j)$ 的先后顺序相同。反之，若 $(p(i),p(j))$ 相对于 $(i,j)$ 的顺序颠倒，则称该数对为一个逆序。

这里用 $\circ$ 表示复合，即 $p \circ q$ 表示先按 $q$ 排列，再按 $p$ 排列所得的排列。（更一般地，复合用于组合两个函数。复合函数 $f = g \circ h$ 满足 $f(x) = g(h(x))$，也就是先应用 $h$，再对结果应用 $g$。） $n$ 个元素的排列 $p$ 可以表示成一个 $n \times n$ 矩阵 $\mx{E}_p$：除位置 $(p(1),1), (p(2),2), \ldots, (p(n),n)$ 上的元素取 $1$ 外，其余元素全为零。$\mx{E}_p$ 的行列式特别容易计算，有 $\det(\mx{E}_p) = \sigma(p)$。 现在可以给出一般维数下行列式显式公式的定理。

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因此，与前例一致，$1$、$2$、$3$ 阶行列式分别包含 $1$、$2$、$6$ 项。 $2 \times 2$ 行列式有一种容易记忆的图式：写出矩阵并想象一个交叉，先将一条对角线上的元素相乘，再减去另一条对角线上的元素之积，如下所示。

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \,\,\,\,\, - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \,\,\,\,\,\,\,\, \swarrow \\ a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{array}, \end{equation}

(7.34)

也就是 $a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}$。 对于 $3 \times 3$ 矩阵，也有一种帮助记忆行列式的图式。按下图把矩阵的三列 $\vc{a}_1$、$\vc{a}_2$、$\vc{a}_3$ 连写两遍：

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - &\,\, - & - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \!\swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow \\ a_{11} & a_{12} & a_{13} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{11} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{12} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{21} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{22} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{31} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{32} &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! a_{33} \\ \end{array} \end{equation}

(7.35)

即 $+a_{11}a_{22}a_{33} +a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32} -a_{12}a_{21}a_{33} -a_{13}a_{22}a_{31}$。 但要注意，阶数更高的矩阵没有类似的简单图式；例如，$4 \times 4$ 行列式就没有这样简便的计算规律。 项数也会迅速增长：$4 \times 4$ 行列式有 $24$ 项，$5 \times 5$ 行列式有 $120$ 项。

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本节介绍关于转置矩阵、矩阵乘积和逆矩阵之行列式的若干定理。

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利用定理 7.5，可以证明下面这个有用的结论。

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交互式图解 7.5针对 $2\times 2$ 矩阵展示了定理 7.6。 例如，若让 $\mx{A}$ 对应的平行四边形面积变小，则 $\mx{A}^{-1}$ 对应的平行四边形面积会变大，反之亦然。

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本节先定义余子式：它是由方阵计算得到的一个标量。

这些行列式通常称为矩阵的余子式，也称一阶余子式。

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当某一行或某一列含有许多零时，沿该行或该列展开尤为方便。下面的例子说明了这一点。

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本节将介绍方阵 $\mx{A}$ 的伴随矩阵 $\adj( \mx{A} )$。

注意，定义中使用的是 $D_{ji}$，而不是 $D_{ij}$。

伴随矩阵与逆矩阵有着密切联系，如下定理所示。

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本节将介绍克拉默法则。当我们想求方程 $\mx{A}\vc{x}=\vc{y}$ 的解 $\vc{x}$，却不需要知道 $\mx{A}$ 的逆矩阵时，它非常有用。

换言之，把 $\mx{A}$ 的第 $i$ 列替换为等式右侧的 $\vc{y}$，计算所得矩阵的行列式，再除以 $\mx{A}$ 的行列式，就能直接得到解向量 $\vc{x}$ 的第 $i$ 个坐标。 这个方法简单得几乎令人难以置信。

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在交互式图解 7.6中，我们用克拉默法则求解方程组 $\mx{A}\vc{z}=\vc{b}$ 中的 $\vc{z}$。

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