第 5 章：高斯消元法

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要熟悉方程组，可以先研究两条直线相交时会发生什么。

为了描述平面中的二维直线，许多人最先接触的表示法是

\begin{equation} y = kx + m, \end{equation}

(5.1)

其中 $k$ 表示直线的斜率，$m$ 表示直线在 $y$ 轴上的截距。这种表示法适用于大多数直线，但并非全部。无论 $k$ 取何值，都无法表示完全竖直的直线（例如 $x=4$）。因此，数学上通常采用更方便的表示法：

\begin{equation} ax + by + c = 0 \end{equation}

(5.2)

它适用于所有形如 $y=kx+m$ 的直线：只需令 $a=-k$、$b=1$、$c=-m$。此外，它也能表示竖直直线。例如，令 $a=1$、$b=0$、$c=-4$，就表示直线 $x=4$；它经过点 $(4,0)$，并与 $y$ 轴平行。在 图 5.3 中，我们画出了两条直线，其方程分别为 $2x + 3y + 5 = 0$ 和 $5x+2y-4=0$。 直线 $2x+3y+5=0$ 由所有满足 $2x+3y+5=0$ 的点 $(x,y)$ 组成。同样，另一条 直线 由所有满足 $5x+2y-4=0$ 的 $(x,y)$ 组成。两条 直线 的交点坐标 $(x,y)$ 必须同时满足两个方程。因此，要找交点，就需要求解这个方程组

\begin{equation} \begin{cases} 2 x + 3 y = -5,\\ 5 x + 2 y = 4. \end{cases} \end{equation}

(5.3)

上述方程组称为 线性方程组，因为其中只含有 $2x$、$3y$ 这样的一次多项式项，而不含 $x^2$、$xy$、$y^3$ 等高次项，也不含其他 非线性 项，例如 $\cos x$ 或 $e^x$。这类方程组有一个很好的性质：容易进行系统分析。例如，只要解存在，就总能求出来。若方程组无解，比如两条 直线 平行且不重合，分析过程也会揭示这一点。最后，若有多个解，比如两条 直线 平行且重合，分析同样会把这一点显示出来。

交互式图解 5.4 展示了两条直线的交点，也就是方程组（例如方程组（5.3））的解如何随两条直线方程的改变而交互变化。

本章将介绍一种系统方法，称为 高斯消元法，用来分析并求解这类方程组。不过，我们先来看几个 线性 方程的例子。

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求解方程组有很多方法，你很可能已经学过其中一些。不过，高斯消元法提供了一种始终有效的方法。可以把它想成一道食谱：只要按步骤操作，总能做出同样可口的菜肴。当然，我们得到的结果不能吃，而是一个呈 三角形结构的方程组，因此称为三角形方程组，如 图 5.8 所示。 虽然 图 5.8 中的方程组有三个方程和三个未知量，却很容易求解。最下面的方程非常简单，两边同除以 $11$，得到 $z=\frac{-33}{11}=-3$。把 $z$ 代入倒数第二个方程，得到 $2y+3(-3)=-5$，即 $2y=4$，所以 $y=2$。再把 $y$ 和 $z$ 代入最上面的方程，就得到一个关于 $x$ 的简单方程。

高斯消元法的目标，是从任意线性方程组出发，把它化为三角形方程组。整个过程只需使用下面定理中的三条简单法则。

这个定理的证明暂留到 第 5.7.1 节。届时为完整起见，我们还会再次陈述该定理。
例如，设有如下方程组：

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} -x + \hid{4} y =& \!\!\!\! 8,\\ 2 x + 4y =& \!\!\!\!-10. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.13)

使用第二、第三条法则，把第一行的两倍加到最后一行，得到

\begin{equation} \begin{cases} -x + \hid{6} y = 8,\\ \hid{-x+}6y = 6, \end{cases} \end{equation}

(5.14)

，即一个三角形方程组。正如前面所见，它很容易求解。由最后一行可得 $y=1$，代入第一行得到 $-x+1=8$，即 $x=-7$。

上例容易计算，是因为可以使用整数倍。但一般情况下并非总能如此。例如，考虑

\begin{equation} \begin{cases} 2 x + 3 y = -5, \\ 5 x + 2 y = 4. \end{cases} \end{equation}

(5.15)

若要消去变量 $x$，需要先把第一行乘以 $-\frac{5}{2}$，再加到第二行。整数计算通常比分数计算简单，因此更方便的做法是把第一个方程乘以 $5$、第二个方程乘以 $2$，再将二者相减。 具体过程见交互式图解 5.9。 注意，交互式图解 5.9 中从原方程组变换到三角形 方程组的步骤，并不是直接应用某一条法则。例如，我们把一行的若干倍加到另一行的若干倍上，而法则中并没有这样的表述。不过，这可以看成连续应用两条法则：先把第二行乘以 $-2$（法则 2），再把第一行的 5 倍加到所得行上（法则 3）。因此， 交互式图解 5.9 中的变换最终仍然是合法的。

有时第一行不含第一个变量，因而不能直接从下面各行消去它。例如

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 3 & \bs x_2 - 6 & \bs x_3 = -21, \\ 2 x_1 + 4 & \bs x_2 - 2 & \bs x_3 = \hid{-}16, \\ - x_1 - 7 & \bs x_2 + 2 & \bs x_3 = -27. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.16)

这时只需按照第一条法则重新排列方程。把第一个方程移到最后，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 & \!\!\!\!\!\! x_1 + 4 &\!\!\!\!\!\!\!x_2 - 2 &\!\!\!\!\!\!x_3 = \hid{-}16, \\ - & \!\!\!\!\!\! x_1 - 7 &\!\!\!\!\!\!x_2 + 2 &\!\!\!\!\!\!x_3 = -27, \\ & 3 &\!\!\!\!\!\!x_2 - 6 &\!\!\!\!\!\!x_3 = -21. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.17)

把第二行乘以 2，再加到第一行，即可从第二行中消去 $x_1$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl}\! 2 x_1 + 4&\!\!\!\!\!\!x_2 - 2&\!\!\!\!\!\!x_3 = \hid{-}16, \\ -10&\!\!\!\!\!\!x_2 + 2&\!\!\!\!\!\!x_3 = -38, \\ 3&\!\!\!\!\!\!x_2 - 6&\!\!\!\!\!\!x_3 = -21. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.18)

为了消去 $x_2$，把第二行乘以 3、最后一行乘以 10，再将二者相加，得到 此时方程组已经化为三角形方程组，很容易算出 $x_3=\frac{-324}{-54}=6$。代入第二行，得到 $-10x_2+12=-38$，等价于 $-10x_2=-50$，即 $x_2=5$。最后，把 $x_2=5$、$x_3=6$ 代入第一行，得到 $2x_1+20-12=16$，化简为 $2x_1=8$，所以 $x_1=4$。方程组至此求解完毕。

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到目前为止，我们遇到的 方程组 都恰好有一个解。但情况并非总是如此，例如

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} 5 &\bs x + 2 y = 4,\\ 10 &\bs x + 4 y = 13. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.20)

求解这个方程组的常规做法，是把第一个方程乘以 $-2$ 后加到第二个方程上，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} 5 x + 2 &\bs y = 4\\ &\bs 0 = 5 \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.21)

零绝不可能等于五，但我们确实严格遵循了高斯消元法则（定理 5.1）。原因是这个方程组 无解。若改为把第一个方程乘以 2，原因便一目了然：

\begin{equation} \begin{cases} 10 x + 4 y = 8,\\ 10 x + 4 y = 13. \end{cases} \end{equation}

(5.22)

这两个方程彼此矛盾：左边完全相同，右边却不同。因此该方程组无解。对这类方程组实施高斯消元，会得到类似上面的 $0=5$ 这样的矛盾。一旦出现这种情况，就可以断定方程组无解。 把 方程组（5.20） 中的两个方程解释为两条 直线，就能从图形上看清原因。第一个方程 $5x+2y=4$ 表示 图 5.10 中左侧的 直线；第二个方程 $10x+4y=13$ 表示右侧的 直线。从图中可以看到，这两条 直线 彼此平行，因此 永不相交。由于交点代表方程组的解，平面内两条互不重合的平行直线就对应一个无解的方程组。

无解并不是唯一的特殊情形。例如，设有如下方程组：

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rll} - &\bs x + &\bs y = \hid{-}8,\\ 3 &\bs x - 3 &\bs y = -24. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.23)

对第一个变量实施 高斯消元法 时，可以把第一行的三倍加到第二行，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} -x + y & \!\!\!\!= 8,\\ 0 & \!\!\!\!= 0. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.24)

第二行于是化为恒等式 $0=0$，没有提供任何关于变量 $y$ 的信息。此时满足方程组的 $(x,y)$ 不止一个，而有许多个。为了表示所有这样的数对，令 $y=t$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} -x + t &\bsfyra = 8,\\ y &\bsfyra = t,\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.25)

再解出 $x$，得到

\begin{equation} \begin{cases} x = -8 + t,\\ y = \class{hidden}{-}0 + t.\\ \end{cases} \end{equation}

(5.26)

因此，向量 $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ 可以写成 $\begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}t$。正如 第 3.6.1 节所述，这是一条直线，形如 $P(t)=S+t\mathrm{\bf d}$，其中 $S=\begin{pmatrix}-8\\0\end{pmatrix}$，$\mathrm{\bf d}=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$。换言之，整条直线上的点都是这个方程组的解。如 插图 5.11所示，绿点为 $S$，红色箭头表示方向向量 $\mathrm{\bf d}$，所得 直线 以黑色绘出。

也可以回到原方程，从另一个角度理解这一点：

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rll} - &\bs x + &\bs y = \hid{-}8,\\ 3 &\bs x - 3 &\bs y = -24. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.27)

把下面的方程乘以 $-\frac{1}{3}$，得到

\begin{equation} \begin{cases} -x + y = 8,\\ -x + y = 8. \end{cases} \end{equation}

(5.28)

也就是说，得到了两个完全相同的方程。第二个方程只是重复已有信息，并未提供新信息。两条 直线 $-x+y=8$ 与 $3x-3y=-24$ 完全重合，也就是同一条 直线。在 交互式图解 5.11 中按“前进”按钮即可看到这一点。事实上，$-x+y=8$ 和 $3x-3y=-24$ 采用隐式形式，而 $P(t)=S+t\mathrm{\bf d}$ 采用显式形式，三者表示的是同一条直线。

下面考虑一个含三个方程、三个未知量的方程组，例如

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 & \!\!\!\!\!\! x + 4 &\!\!\!\!\!\!\!y - 2 &\!\!\!\!\!\!z = \hid{-}16, \\ - & \!\!\!\!\!\! x - 7 &\!\!\!\!\!\!y + 2 &\!\!\!\!\!\!z = -27, \\ & 3 &\!\!\!\!\!\!y - 6 &\!\!\!\!\!\!z = -21. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.29)

与含两个方程的简单情形一样，这类方程组也可以作几何解释。不过此时，每个方程都对应三维空间中的一个 平面 （见 第 3.6.2 节）。方程组的解就是三个 平面 共同相交的点。这展示在 交互式图解 5.12的第一步中：每个 平面 表示一个方程，三个平面交于图中的一个黑点。你可以按住鼠标右键并移动鼠标来改变交互式图解的视角（Mac 上按住 Control 再按鼠标键，或在 Mac 笔记本触控板上用双指按下）。在 iPad 上，用双指拖动即可改变相机位置。 不过有时，各方程所表示的 平面 都包含同一条 直线，如 交互式图解 5.12第二步所示。此时方程组不是只有一个解，而是有无穷多个解；解集正是图中黑色的 直线 。

另一些情况下，两个方程表示同一个平面。原因可能是它们的系数相同，也可能是一个方程等于另一个方程的常数倍。于是整个平面都同时满足这两个方程，图中用虚线平面表示。交互式图解 5.12中整个方程组的解，就是这个重合平面与第三个平面的交集，也就是一整条直线上的解，如图中的黑色实线所示。

方程组有解的最后一种情形，是三个方程都表示同一个 平面，例如方程组

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} & \bs x + \!\!\!\!&\bs y + &\bs z = 1,\\ 2&\bs x + 2&\bs y + 2&\bs z = 2,\\ 3&\bs x + 3&\bs y + 3&\bs z = 3.\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.30)

若点 $(x,y,z)$ 满足第一个方程，那么它也满足第二、第三个方程，因为后两者只是第一个方程分别乘以 $2$ 和 $3$。因此，该点也是整个方程组的解。于是解集被绘制成整个黑色平面，见 图 5.12。

对于含两个方程、两个未知量的方程组，若要无解，表示两个方程的两条 直线 必须平行，如 交互式图解 5.10所示。但在三维空间中，情形不止如此。例如，考虑如下方程组。

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 3 \sqrt{6}&\bs x + 3&\bs y + 3&\bs z = \sqrt{6}\\ -3 \sqrt{6}&\bs x + 3&\bs y + 3&\bs z = \sqrt{6}\\ & -6&\bs y - 6&\bs z = \sqrt{6}\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.31)

不难看出，这些 平面 两两均不平行，因为它们的 法向量 各不相同，而且不能通过乘以常数使之相同。三个 法向量 分别为 $(3\sqrt{6},3,3)$、$(-3\sqrt{6},3,3)$ 和 $(0,-6,-6)$。然而，实施 高斯消元法即可看出方程组仍然无解。把第一行与第二行相加，消去 $x$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 3 \sqrt{6}&\bs x + 3&\bs y + 3&\bs z = \sqrt{6},\\ & 6&\bs y + 6&\bs z = 2\sqrt{6},\\ & -6&\bs y - 6&\bs z = \sqrt{6}.\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.32)

接着把最后两个方程相加以消去 $y$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 3 \sqrt{6}&\bs x + 3&\bs y + 3&\bs z = \sqrt{6},\\ & 6&\bs y + 6&\bs z = 2\sqrt{6},\\ & & &\bs 0 = 3\sqrt{6}.\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.33)

这一步同时消去了 $z$，最终得到矛盾 $0=3\sqrt{6}$，说明方程组无解。其几何图形见 图 5.13的第一步。有些位置满足其中两个方程，却不满足第三个方程，这些位置用虚 直线标出。注意，不存在同时位于三个 平面上的点，因此方程组无解，尽管这些 平面 并不平行。 如果三个 平面 彼此平行且互不重合，方程组便无解，如 图 5.13。

一种特殊情形是两个方程表示同一个平面，而第三个方程表示另一个平面，它与前者平行但不重合。这个例子见 图 5.13的第三步，其中虚线 平面 满足两个方程，另一个 平面 满足第三个方程。因此方程组仍然无解。

最后一种无解情形，是三个 平面中有两个彼此平行且不重合。第三个平面分别与这两个平行平面相交，形成两条 直线 （在 交互式图解 5.13第四步中以虚线表示），但不存在同时属于三个 平面的点，因此方程组无解。

综上，方程组的解只可能有三种情形：

1. 恰好一个解；
2. 无解；或
3. 有无穷多个解。

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一个特殊情形是所有方程的右端都为零，例如

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 4 x_1 + 2 & \bs x_2 +\hid{3}& \bs x_3 = 0, \\ 2 x_1 - 3 & \bs x_2 - 2 & \bs x_3 = 0, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.34)

这样的方程组称为 齐次方程组，它总有解 $x_1=x_2=x_3=0$。这个解很容易找到，通常称为“平凡解”。不过，有时方程组还存在非平凡解。我们用 高斯消元法 判断是否如此。第一步，从下面两个方程中消去 $x_1$。对中间的方程，用第一个方程的两倍减去第二个方程；对最后一个方程，用第一个方程减去最后一个方程，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs x_3 = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs x_3 = 0. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.35)

从最后两行消去 $x_2$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs x_3 = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs x_3 = 0, \\ & & \bs 0 = 0. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.36)

现在令 $x_3=t$，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 2 x_1 + 5 & \bs x_2 + 3 & \bs t = 0, \\ 8 & \bs x_2 + 5 & \bs t = 0, \\ & & \bs\bs x_3 = t. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.37)

解得 $x_2=-\frac{5}{8}t$，代入第一个方程，得到 $2x_1+5(-\frac{5}{8})t+3t=0$。化简可得 $x_1=\frac{1}{16}t$。因此

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrl} x_1 = & \bs \frac{1}{16} & \bs t, \\ x_2 = & \bs -\frac{5}{8} & \bs t, \\ x_3 = & \bs &\bs t, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.38)

这说明除平凡解 $x_1=x_2=x_3=0$ 外，该方程组还有无穷多个解。

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正如 第 3.6 节所述，平面 和 直线 既可以写成隐式形式，也可以写成显式形式。利用 高斯消元法可以在两种形式之间转换。回忆一下，平面 $P(t_1,t_2)=S+t_1\vc{d}_1+t_2\vc{d}_2$ 采用显式形式，而 $\vc{n}\cdot(P-S)=0$ 则采用隐式形式。设有如下 平面

\begin{equation} \begin{cases} x &= \class{hidden}{0 +} \frac{3}{2} t_1, \\ y &= \class{hidden}{0 + \frac{3}{2}} t_1 + t_2, \\ z &= 1 \class{hidden}{\frac{3}{2}}-t_1 + 2 t_2, \end{cases} \end{equation}

(5.39)

其中 $S=(0,0,1)$、$\vc{d}_1=(\frac{3}{2},1,-1)$、$\vc{d}_2=(0,1,2)$。利用高斯消元法消去变量 $t_1$ 和 $t_2$，可以把它变换为隐式形式。为说明具体过程，先重写方程组，把待消去的变量放在最左侧，即

\begin{equation} \begin{cases} \frac{3}{2} &\bs t_1 \class{hidden}{+2t_2}= x,\\ &\bs t_1 \class{hidden}{2}+ t_2 = y,\\ -&\bs t_1 + 2 t_2 = z - 1.\\ \end{cases} \end{equation}

(5.40)

为使 高斯消元法 更容易进行，把第一行移到最下面，得到

\begin{equation} \begin{cases} &\bs t_1 \class{hidden}{2}+ t_2 = y,\\ -&\bs t_1 + 2 t_2 = z - 1,\\ \frac{3}{2} &\bs t_1 \class{hidden}{+2t_2}= x.\\ \end{cases} \end{equation}

(5.41)

把前两行相加，消去第二行中的 $t_1$；把第一行乘以 $\frac{3}{2}$ 后减去最后一行，消去最后一行中的 $t_1$。得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} t_1 + & \bsfem t_2 = y,\\ 3 & \bsfem t_2 = y + z - 1,\\ \frac{3}{2} & \bsfem t_2 = \frac{3}{2}y - x.\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.42)

现在用中间一行减去最后一行的两倍，即可从最后一个方程中消去 $t_2$：

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} t_1 \class{hidden}{2}+ t_2 & \bsfem = y,\\ 3 t_2 & \bsfem = y + z - 1,\\ 0 & \bsfem= y + z - 1 - 2(\frac{3}{2}y - x).\\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.43)

最后一行化简为 $2x-2y+z-1=0$，这就是该 平面 方程的隐式形式。从隐式形式转换为显式形式更容易。令 $y=t_1$、$z=t_2$，得到方程组

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rl} 2x - 2t_1 +t_2 + -1 &\bsfem = 0,\\ y &\bsfem = t_1,\\ z &\bsfem = t_2, \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.44)

可将其改写为

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rlll} x &\bsfem = \frac{1}{2} + t_1 -\frac{1}{2}t_2, \\ y &\bsfem = \class{hidden}{\frac{1}{2} } +t_1, \\ z &\bsfem = \class{hidden}{\frac{1}{2} + t1 \frac{1}{2}} + t_2. \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.45)

这就是显式形式，即 $P(t_1,t_2)=\hat{S}+t_1\hat{\vc{d}}_1+t_2\hat{\vc{d}}_2$，其中 $\hat{S}=(\frac{1}{2},0,0)$、$\hat{\vc{d}}_1=(1,1,0)$、$\hat{\vc{d}}_2=(-\frac{1}{2},0,1)$。注意，这个显式形式与起初的形式（方程（5.39））看起来并不相同，即 $\hat{S}\neq S$、$\hat{\vc{d}_1}\neq\vc{d}_1$、$\hat{\vc{d}_2}\neq\vc{d}_2$，但两者表示的是同一个 平面。原因很简单：同一个 平面可以有许多不同的参数化方式。如 图 5.14所示，点 $S$ 以及向量 $\vc{d}_1$、$\vc{d}_2$ 以红色绘出，表示例子中的 平面 。也可以用蓝色绘出的另一个点 $\hat{S}$ 和另外两个向量 $\hat{\vc{d}}_1$、$\hat{\vc{d}}_2$ 表示同一平面。

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前面各节给出了 高斯消元法 的若干例子，并在可能时给出了几何解释。下一节将从理论上说明高斯消元法为何成立。

5.7.1 高斯消元法则

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回顾例子 方程组（5.16），即

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrl} 3 & \bs x_2 - 6 & \bs x_3 = -21, \\ 2 x_1 + 4 & \bs x_2 - 2 & \bs x_3 = \hid{-}16, \\ - x_1 - 7 & \bs x_2 + 2 & \bs x_3 = -27. \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.46)

利用高斯消元法，我们得到三角形方程组 （5.19），其解为 $\vc{x}=(x_1,x_2,x_3)=(4,5,6)$。但如何确定它也是上面原方程组的解？当然可以直接验证：把解 $\vc{x}$ 代入上面的方程组，得到

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrrl} 3 \cdot & \bs 5 - 6 \cdot & \bs 6 = & \bstwo 15 - 36 & = -21, \\ 2\cdot 4 + 4 \cdot & \bs 5 - 2 \cdot & \bs 6 = & \bstwo 8 + 20 - 12 & = \hid{-}16, \\ - 4 - 7 \cdot & \bs 5 + 2 \cdot & \bs 6 = & \bstwo -4 -35 + 12 & = -27, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.47)

等式全部成立。不过，即使验证了这个具体例子，我们仍希望证明 高斯消元法 绝不会改变方程组的解集。

这里适合引入蕴含 $\Rightarrow$ 与等价 $\Leftrightarrow$ 的概念。若第一个方程组的每个解也都是第二个方程组的解，就说第一个方程组蕴含第二个方程组。若两个方向都成立，则称两个 方程组 等价。因此可以写成

\begin{equation} \begin{cases} \begin{array}{rrrrrl} 1 x_1 & \bsfem +& \bsfem 2 x_2 & \bsfem = 1, \\ 2 x_1 & \bsfem +& \bsfem 5 x_2 & \bsfem = 7, \\ \end{array} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \begin{array}{rrrrrl} 1 x_1 & \bsfem +& \bsfem 2 x_2 & \bsfem = 1, \\ & \bsfem +& \bsfem 1 x_2 & \bsfem = 5, \\ \end{array} \end{cases} \end{equation}

(5.48)

表示第二个方程组的解集与第一个方程组完全相同。但在变换 方程组 的过程中，如何确保解集不变？下面的定理回答了这个问题。为方便阅读，它重述了 定理 5.1。

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5.7.2 一般情形

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本章已经给出了 线性方程组 无解、唯一解或无穷多解的例子。本节将讨论一般情形，并严格证明线性方程组的解必属这三种情况之一。

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对于有无穷多个解的情形，还值得考察解集中有多少个自由变量，换句话说，就是解集的维数。这个问题可用秩 $\rank$ 来刻画，详见 第 8 章。

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本节介绍 线性相关 和 线性无关，它们是 线性 代数中的两个重要概念。不过先从 线性组合开始，这是另一个常用概念。定义如下。

在 列向量记法中（定义 2.5），例如有 $\vc{w}=w_x\vc{e}_1+w_y\vc{e}_2+w_z\vc{e}_3$。也就是说，三维向量 $\vc{w}$ 是 基向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$、$\vc{e}_3$ 的线性组合，标量系数分别是 $w_x$、$w_y$、$w_z$。

下面利用线性组合的定义，考察线性相关与线性无关的向量组。

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本节介绍“张成”的概念。它可以描述一个向量组通过 线性组合能够“覆盖”向量空间的多大部分。先看定义。

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设平面内有一组基，即两个不平行的基向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$。再设另一对不平行向量 $\hat{\vc{e}}_1$、$\hat{\vc{e}}_2$ 也构成一组基。根据前面的结论，后两个向量可用前两个向量表示为

\begin{gather} \hat{\vc{e}}_1 = x_{11} \vc{e}_1 + x_{21} \vc{e}_2,\\ \hat{\vc{e}}_2 = x_{12} \vc{e}_1 + x_{22} \vc{e}_2. \end{gather}

(5.102)

任定向量 $\vc{u}$，它在第一组 基 下的坐标为 $(u_1,u_2)$：

\begin{gather} \vc{u} = u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 .\\ \end{gather}

(5.103)

同一个向量在第二组 基 下的坐标为 $(\hat{u}_1,\hat{u}_2)$，即

\begin{gather} \vc{u} = \hat{u}_1 \hat{\vc{e}}_1 + \hat{u}_2 \hat{\vc{e}}_2.\\ \end{gather}

(5.104)

把 方程（5.102） 代入 方程（5.104），得到

\begin{gather} \vc{u} = \hat{u}_1 (x_{11} \vc{e}_1 + x_{21} \vc{e}_2) + \hat{u}_2 (x_{12} \vc{e}_1 + x_{22} \vc{e}_2), \end{gather}

(5.105)

整理可得

\begin{gather} \vc{u} = (x_{11} \hat{u}_1 + x_{12} \hat{u}_2 ) \vc{e}_1 + (x_{21}\hat{u}_1 + x_{22}\hat{u}_2 ) \vc{e}_2. \end{gather}

(5.106)

由于在给定 基下，向量的坐标唯一确定，所以 方程（5.106） 中 $\vc{e}_1$ 前的系数 $(x_{11}\hat{u}_1+x_{12}\hat{u}_2)$ 必须等于 方程（5.103）中 $\vc{e}_1$ 前的系数 $u_1$；$u_2$ 同理。综上

\begin{gather} u_1 = x_{11} \hat{u}_1 + x_{12} \hat{u}_2, \\ u_2 = x_{21}\hat{u}_1 + x_{22}\hat{u}_2. \end{gather}

(5.107)

注意，描述基向量关系的 方程（5.102） 与上面描述坐标关系的方程很相似，但有两点重要区别：帽号出现在等式另一边，且行变成了列（例如行 $x_{11}\ x_{12}$ 变成了一列）。

我们将在第 6 章讨论矩阵时，再回到基变换。