第 3 章：点积

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本章介绍一种强大的工具——点积。 点积是计算机图形学的基础构件之一。交互式图解 3.1展示了一个称为光线追踪器的计算机图形程序。光线追踪器在场景中放置虚拟相机和若干光源；相机由位置、视场角和朝向确定。 光线追踪器从相机位置向成像平面上的每个像素发射一条射线，计算射线首先击中的物体，并判断交点能否直接接收到光源照明；若不能，该点便处于阴影中。程序还可以继续追踪反射射线，从而生成具有反射效果的物体，例如交互式图解 3.1中间的球体。单击图解下方的开始，亲自试用光线追踪程序。 在上面的光线追踪程序中，点积既用于计算射线与球面的交点，也用于测量到交点的距离。此外，用于计算反射效果的反射定律也用点积实现。理解点积的工作原理后，我们将在第 3.7 节再次讨论这两个主题。

一般来说，点积本质上与度量有关，也就是如何测量向量的夹角和长度。接下来先用两个简短部分讨论夹角和长度，然后进入本章的主体：定义点积、说明引入它的动机，并在第 3.2.3 节给出点积的法则和性质。 第 3.3 节介绍标准正交基，第 3.4 节给出一组常用不等式，第 3.5 节通过例子展示点积的用法。随后讨论直线和平面，最后再回到光线追踪。

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向量 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 之间的最小夹角记作 $[\vc{u},\vc{v}]$。 右图用绿色圆弧表示各对向量之间的最小夹角，其中一处用绿色方框表示直角。此时夹角为 $90^\circ$，即 $\pi/2$ 弧度，因而 $[\vc{u},\vc{v}]=\pi/2$。也可记作 $\vc{u} \perp \vc{v}$，表示两个向量正交，也就是相互垂直。 注意左下角的夹角为 $0$，而底行中间的夹角为 $\pi$ 弧度。两种情形下，向量都位于同一条直线上，因而共线且平行。左下角的两个向量方向相同，底行中间的两个向量方向相反。两向量平行记作 $\vc{u}\, || \,\vc{v}$。若 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 平行，则必存在某个 $k$，使 $\vc{v} = k \vc{u}$。

现在可以正式定义点积了：

回顾第 2 章，$||\vc{v}||$ 表示向量 $\vc{v}$ 的长度。由于向量长度总是非负，点积为正当且仅当 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$ 为正。由此可推出下列点积判定：

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v}>0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ 0 < [\vc{u},\vc{v}] < \pi/2,\\ \vc{u} \cdot \vc{v}<0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \ \pi/2 < [\vc{u},\vc{v}] \leq \pi, \\ \vc{u} \cdot \vc{v}=0 \ \ \ &\Longleftrightarrow\ \ \ \vc{u} \perp \vc{v}, \mathrm{\ 即\ } [\vc{u},\vc{v}]=\pi/2 \mathrm{\ 或\ } \vc{u} = 0 \mathrm{\ 或\ } \vc{v} = 0. \\ \end{align}

(3.2)

最后一条尤其重要：如果向量 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 相互正交（垂直），那么 $\vc{u}\cdot \vc{v} = 0$。本章稍后将看到，正交性往往能简化计算，非常有用。

点积的结果是标量，因此有时也称为数量积。

3.2.1 单位向量与归一化

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单位向量是长度为 $1$ 的向量；也就是说，若 $\ln{\vc{v}}=1$，则 $\vc{v}$ 为单位向量。 任意非零向量 $\vc{v}$ 都可以转化为单位向量，这一操作称为对向量进行归一化，其过程也称归一化。用 $\vc{v}$ 除以自身长度 $\ln{\vc{v}}$，得到归一化向量 $\vc{n}$：

\begin{equation} \vc{n} = \frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}. \end{equation}

(3.4)

下面验证 $\vc{n}$ 确实是单位向量，即 $\ln{\vc{n}}=1$。令 $l=1/\ln{\vc{v}}$，则 $\ln{\vc{n}} = \ln{l\vc{v}} = \abs{l}\,\ln{\vc{v}}=\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\ln{\vc{v}}=1$。

若两个向量都已归一化，即 $\ln{\vc{u}}=\ln{\vc{v}}=1$，则点积可简化为 $\vc{u} \cdot \vc{v} = \cos[\vc{u},\vc{v}]$。计算机图形学的明暗计算经常需要两个向量夹角的余弦，因此这一性质非常实用。事实上，交互式图解 3.1 在追踪射线和计算明暗时就大量使用了归一化向量。

3.2.2 投影

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由三角学可知，在直角三角形中，一个锐角的余弦与斜边及其一条直角边的长度有关。 更准确地说，它可表示为

\begin{equation} \cos \theta= \frac{a}{c}, \end{equation}

(3.5)

其中 $c$ 是斜边的长度，$a$ 是与斜边夹角为 $\theta$ 的直角边的长度，如右图所示。 因此，在这一特定情形下，已知 $a$ 和 $c$ 的长度便可求出夹角；反之，已知夹角和一条边的长度，也可求出另一条边的长度。

设要把向量 $\vc{u}$ 正交投影到向量 $\vc{v}$ 上，得到新向量 $\vc{w}$，如右图所示。 由于 $\vc{u}$ 与 $\vc{w}$ 构成直角三角形，必有 $\cos [\vc{u},\vc{v}] = \ln{\vc{w}} / \ln{\vc{u}}$；这正是上式 (3.5) 的应用。因此 $\vc{w}$ 的长度为 $\ln{\vc{w}} = \ln{\vc{u}}\cos [\vc{u},\vc{v}]$。若 $\vc{v}$ 的长度为 $1$，即 $\ln{\vc{v}}=1$，则投影向量可写为

\begin{equation} \vc{w} = \ln{\vc{w}}\ \vc{v} = \ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]\ \vc{v}. \end{equation}

(3.6)

要确认 $\ln{\vc{w}}\vc{v}$ 的确等于 $\vc{w}$，只需注意它既有正确的方向（即 $\vc{v}$ 的方向，因为 $\ln{\vc{w}}$ 只是一个标量），也有正确的长度（由于 $\vc{v}$ 的长度为 $1$，结果的长度恰为 $\ln{\vc{w}}$）。 我们还希望处理 $\vc{v}$ 的长度不为 $1$ 的情形。为此，可将 $\vc{v}$ 乘以 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}$ 进行归一化，使其长度变为 $1$。 在上式 (3.6) 中用 $\frac{1}{\ln{\vc{v}}}\vc{v}$ 替换 $\vc{v}$，可得

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}} \cos [\vc{u},\vc{v}]}{\ln{\vc{v}}} \vc{v}. \end{equation}

(3.7)

这里用到了归一化不改变方向这一事实，因此仍可使用 $\cos[\vc{u},\vc{v}]$，而不必改写为 $\cos[\vc{u}, \frac{\vc{v}}{\ln{\vc{v}}}]$。 接着将分子、分母同时乘以 $\ln{\vc{v}}$，便得到一般的正交投影公式

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos [\vc{u},\vc{v}] }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.8)

最后这一步的用意在于，分子 $\ln{\vc{u}}\ \ln{\vc{v}} \cos[\vc{u},\vc{v}]$ 正好就是点积的定义，因此公式可进一步简写为

\begin{equation} \vc{w} = \frac{\vc{u} \cdot \vc{v} }{ \ln{\vc{v}}^2 } \vc{v}. \end{equation}

(3.9)

由此证明了下面的公式：

3.2.3 法则与性质

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借助点积的定义和投影公式，可以推导出下列法则：

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定理 3.1中的法则十分直观，因为它们与标量加法和标量乘法的法则相同。 第 3.5 节将通过若干例子说明这些法则的用法。

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本节介绍一种简便的点积计算方法。设有两个三维向量 $\vc{u} = (u_1, u_2, u_3)$ 和 $\vc{v} = (v_1, v_2, v_3)$，它们在同一个基下表示为

\begin{align} \vc{u} & = u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3,\\ \vc{v} & = v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3. \end{align}

(3.20)

此时点积 $\vc{u} \cdot \vc{v}$ 可写为

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = (u_1 \vc{e}_1 + u_2 \vc{e}_2 + u_3 \vc{e}_3) \cdot (v_1 \vc{e}_1 + v_2 \vc{e}_2 + v_3 \vc{e}_3),\\ \end{align}

(3.21)

展开得

\begin{align} \vc{u} \cdot \vc{v} & = u_1 v_1 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_1 + u_1 v_2 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_2 + u_1 v_3 \vc{e}_1 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_2 v_1 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_1 + u_2 v_2 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_2 + u_2 v_3 \vc{e}_2 \cdot \vc{e}_3 \\ & + u_3 v_1 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_1 + u_3 v_2 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_2 + u_3 v_3 \vc{e}_3 \cdot \vc{e}_3. \end{align}

(3.22)

这个式子看起来冗长而复杂。但若 $i \neq j$ 时 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_j=0$，也就是说，每条基轴都与其他基轴正交，则除三项外其余各项都消失。 再假设对所有 $i$ 都有 $\vc{e}_i \cdot \vc{e}_i = 1$，也就是每个基向量的长度均为 $1$，那么剩余各项也可化简为

\begin{equation} \vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3. \end{equation}

(3.23)

现在可以定义任意维数的标准正交基了。

还可将上述简化的点积公式推广到任意维数的向量：

注意上文使用了两种不同的向量分量下标方式，例如 $\vc{v}=(v_1, v_2, v_3) = (v_x, v_y, v_z)$.

对于 $\R^1$、$\R^2$ 和 $\R^3$ 中的向量，夹角具有自然的几何含义。我们据此按照定义 3.1定义点积。若基为标准正交基，便得到上面的简式 $\vc{u} \cdot \vc{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3 $ 来计算点积。高维向量则没有先验的几何夹角概念。在标准正交基下，可以反过来用定义 3.4中的点积简式推导出夹角的概念。于是，两个非零向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的夹角定义如下。

下面用一个简单的例子说明定义 3.4中的简便点积计算方法：

为了更直观地体会点积所表达的信息，建议先操作下面的交互式图解 3.8。

3.3.1 标准正交基下的向量长度

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前面已经看到，在标准正交基下，向量的点积计算更简单。本节将看到，向量长度 $\ln{\vc{v}}$ 的计算也会随之简化。向量的长度也称为模或范数。

回顾定理 3.1的法则 $(iv)$：$\vc{v}\cdot\vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$。 若向量在一个标准正交基下的坐标为 $(v_x, v_y)$，利用定义 3.4中的点积简式可得 $\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$。右上图画出了向量 $\vc{v}$。由于 $v_x$ 和 $v_y$ 是 $\vc{v}$ 的坐标，它们也分别等于两条虚线的长度。该图与下方的三角形相对应，其中 $c = \ln{\vc{v}}$、$a = v_x$、$b = v_y$。因此，$\ln{\vc{v}}^2 = v_x^2 + v_y^2$ 也给出了勾股定理 $c^2 = a^2 + b^2$ 的一种证明。

因此，标准正交基下向量的长度可按下式计算：

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}. \end{equation}

(3.32)

类似地，对于标准正交基下的三维向量 $\vc{v} = (v_x, v_y, v_z)$，点积 $\vc{v} \cdot \vc{v} = \ln{\vc{v}}^2$ 可算作 $v_x^2 + v_y^2 + v_z^2$，故向量长度为

\begin{equation} \ln{\vc{v}} = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}. \end{equation}

(3.33)

在三维情形下，同样可用勾股定理从几何上说明这一公式为何成立，详见交互式图解 3.10。 了解向量经过 $k$ 倍数乘后长度如何变化通常很有用。由点积的定义可得

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = \ln{k\vc{v}}\,\ln{k\vc{v}}\cos[k\vc{v},k\vc{v}] = \ln{k\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.34)

也可以连续两次应用法则 $(ii)$，得到

\begin{equation} (k\vc{v})\cdot(k\vc{v}) = k ( \vc{v}\cdot(k\vc{v})) = k(k(\vc{v}\cdot\vc{v})) = k^2 \ln{\vc{v}}^2. \end{equation}

(3.35)

因此

\begin{equation} \ln{k\vc{v}}^2 = k^2 \ln{\vc{v}}^2, \end{equation}

(3.36)

从而

\begin{equation} \ln{k\vc{v}} = \abs{k}\, \ln{\vc{v}}. \end{equation}

(3.37)

注意只有零向量的长度为零，即 $\ln{\vc{0}} = 0$；若 $\vc{v}\neq\vc{0}$，则 $\ln{\vc{v}}>0$。

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下面介绍几个十分有用的数学不等式。之所以把它们放在点积一章，是因为利用点积的定义很容易证明它们。

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另一个相关的不等式是下面的三角不等式。

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如右图所示，三角不等式在几何上很容易理解。图中清楚地表明，$\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 的长度之和必然大于或等于 $\vc{u}+\vc{v}$ 的长度。事实上，只有当 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 同向平行时等号才成立。不妨移动向量 $\vc{u}$，亲自观察这一情形。

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本节给出一些实用的例子，并明确标出推导每一步所用的法则。法则编号写在等号上方，例如

\begin{equation} \vc{a} \cdot (\vc{a}+\vc{b}) \overset{(iii)}{=} \vc{a} \cdot \vc{a} + \vc{a} \cdot \vc{b}, \end{equation}

(3.48)

表示从等号左边到右边使用了定理 3.1中的法则 $(iii)$。下面推导平行四边形恒等式。

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直线和平面是十分常见且重要的几何对象，在许多场合都有用处。例如，可以判断从虚拟观察点出发、穿过像素中心的射线（即一条直线）是否与球体等几何物体相交。更广泛地说，直线和平面常用于计算几何、计算机视觉、计算机图形学和计算机辅助设计（CAD）等领域。

3.6.1 直线

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本书主要讨论直线，因此通常直接简称为直线。如右图所示，一条直线可由起点 $S$ 和方向向量 $\vc{d}$ 描述。 为了描述直线，最好使用一种能给出直线上所有点的表示方法。先从右图中的点 $P$ 出发，构造从 $S$ 指向 $P$ 的向量 $\overrightarrow{SP}$。若 $P$ 位于由 $S$ 和 $\vc{d}$ 描述的直线上，则 $\overrightarrow{SP}$ 必须与 $\vc{d}$ 平行。换言之，必存在标量 $t_1$，使得 $t_1\vc{d}$ 与 $\overrightarrow{SP}$ 完全相等，即

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}. \end{equation}

(3.55)

由于 $P$ 位于 $\vc{d}$ 所指的方向，还可知 $t_1>0$。同样位于直线上的点 $Q$ 对应另一个标量 $t_2$，满足 $\overrightarrow{SQ} = t_2 \vc{d}$。由于 $Q$ 位于 $\vc{d}$ 的反方向，显然 $t_2<0$。 另一方面，对点 $R$，不存在满足类似关系的标量 $t_3$；也就是说，对任意 $t_3$ 都有 $\overrightarrow{SR} \neq t_3 \vc{d}$。 $P$ 与 $Q$ 的区别仅在于所用标量分别为 $t_1$ 和 $t_2$。由此可见，直线上的任意点都可由某个标量 $t$ 描述。于是，用 $P(t)$ 表示以标量 $t$ 为自变量并返回点 $P$ 的函数；不同的 $t$ 会生成不同的点 $P$。上式可改写为

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t)} = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) - S = t\vc{d} \\ \Longleftrightarrow \\ P(t) = S + t\vc{d}. \end{gather}

(3.56)

注意，直线上的所有点 $P(t)$ 都可理解为从 $S$ 出发，加上经过数乘的方向向量 $t\vc{d}$ 后到达的点。例如，$P(0) = S$、$P(1) = S + \vc{d}$、$P(-2.5) = S -2.5\vc{d}$。 下面的定义概括了这种参数化直线。

通常称上面的直线采用显式形式，意即直线上的点 $P(t)$ 可直接由表达式生成。下面的交互式图解 3.15展示了一维、二维和三维空间中的显式直线。 对直线方程 $P(t)-S = t\vc{d}$ 两边取长度，得到 $\ln{P(t)-S} = \ln{t\vc{d}}$。若直线方向向量已经归一化，即 $\ln{\vc{d}}=1$，则 $\abs{t} = \ln{P(t)-S}$。这一性质在计算直线与球面等对象的交点时很有用，第 3.7 节将会看到。

回顾二维点 $S$ 有两个标量分量 $(s_x, s_y)$，二维向量 $\vc{d}$ 同样有两个标量分量 $(d_x,d_y)$。二维直线 $P(t)=S + t\vc{d}$ 可用点和向量的标量分量表示为

\begin{equation} P(t) = S + t\vc{d} \ \ \ \Longleftrightarrow \begin{cases} p_x(t) = s_x + td_x,\\ p_y(t) = s_y + td_y. \end{cases} \end{equation}

(3.58)

下面先初步感受一下第 5 章的高斯消元法。将上面第一行乘以 $d_y$，第二行乘以 $d_x$，得到下式。为简洁起见，省略 $p_x$ 和 $p_y$ 中的参数 $t$：

\begin{equation} \begin{cases} p_x d_y = s_x d_y + d_x d_y t,\\ p_y d_x = s_y d_x + d_x d_y t. \end{cases} \end{equation}

(3.59)

由代数可知，只要等式两边同时减去同一项，等式仍然成立。因此可用第一行减去第二行，得到

\begin{equation} p_x d_y - p_y d_x = s_x d_y - s_y d_x + d_x d_y t - d_x d_y t = s_x d_y - s_y d_x \\ \Longleftrightarrow \\ d_yp_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0, \end{equation}

(3.60)

可以看到，含 $t$ 的项已经消去。进一步改写为

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ a p_x + b p_y + c = 0, \end{equation}

(3.61)

其中 $a=d_y$、$b=-d_x$、$c=s_y d_x - s_x d_y$。有些读者可能已经熟悉这个方程；特别地，令 $x=p_x$、$y=p_y$，可得

\begin{equation} a x + b y + c = 0. \end{equation}

(3.62)

当 $b\neq 0$ 时，上式还可改写为 $y =(-ax -c)/b=kx+m$，其中 $k=-a/b$、$m=-c/b$。大多数人都熟悉这种直线表达式：$k$ 表示 $x$ 每增加 $1$ 时 $y$ 的变化量，$m$ 是 $x=0$ 时的 $y$ 值。 不过，$a x + b y + c = 0$ 是二维直线更一般的表示，因为它还能描述竖直直线，而 $y=kx+m$ 无法做到。

需要强调的是，直线的隐式形式 $a p_x + b p_y + c = 0$ 与显式形式 $P(t) = S + t\vc{d}$ 精确描述同一条直线，因为前者正是由后者推导而来。 下面说明：若基为标准正交基，便可用点积改写显式形式。为此，引入 $\vc{n} = (n_x,n_y) = (a,b) = (d_y,-d_x)$，于是

\begin{equation} d_y p_x - d_x p_y + s_y d_x - s_x d_y =0 \\ \Longleftrightarrow \\ \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.63)

其中 $P=(p_x, p_y)$、$S=(s_x, s_y)$。这里利用了如下事实：当向量在标准正交基下表示时， $(d_y, -d_x) \cdot (p_x, p_y) = d_y p_x + (-d_x) p_y$，参见 定义 3.4。 可以看到，对于从 $S$ 指向直线上任意点 $P$ 的向量，要使 $P$ 位于直线上，它与 $\vc{n}$ 的点积必须为零。又有 $\vc{n}\cdot\vc{d} =$ $(d_y,-d_x)\cdot (d_x,d_y) = $ $d_y d_x - d_x d_y = $ $0$, 即 $\vc{n}$ 与直线方向 $\vc{d}$ 正交。因此，$\vc{n}$ 常称为直线的法向量。 此外，$\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 称为隐式形式，因为不便直接用它生成直线上的点；不过，用它判断点 $P$ 是否位于直线上却十分直接。

由此得到二维直线隐式形式的定义。

注意，即使基不是正交基，定义 3.7仍然成立。也就是说，直线仍可写为 $\vc{n} \cdot (P-S) = 0$，其中 $\vc{n}$ 是直线的法向量。不过，此时 $\vc{n}$ 一般不再等于 $(d_y, -d_x)$，因而其坐标不再能直接算出。

如上所述，二维直线有两种不同的数学表示。一维或三维直线不能照搬这两种形式。不过，第 3.6.2 节将看到，三维平面同样具有隐式和显式两种表示。

回到形如 $\vc{n} \cdot (P - S) = 0$ 的二维直线：它表示由 $S$ 与 $\vc{d}$ 确定的直线上所有点 $P$ 都满足上式，即相应点积为零。 若 $P$ 不在直线上会怎样？此时点积当然不为零，但这个结果还能告诉我们其他信息吗？事实证明，它非常有用。为说明这一点，定义关于 $P$ 的标量函数 $e$：

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S). \end{equation}

(3.65)

在计算机图形学中，这个函数有时称为边函数，也称为有符号距离函数（本节稍后解释）。 由于 $e(P)$ 由点积定义，由第 3.4 节可知：当 $[\vc{n}, P-S] < \pi/2$ 时 $e(P)>0$；当 $[\vc{n}, P-S] > \pi/2$ 时 $e(P)<0$；仅当 $[\vc{n}, P-S] = \pi/2$ 时 $e(P)=0$。而 $e(P)=0$ 也意味着 $P$ 位于由 $S$ 和 $\vc{d}$ 确定的直线上。因此，当 $e(P)>0$ 时，称 $P$ 位于直线的正半平面；当 $e(P)<0$ 时，称 $P$ 位于负半平面。也就是说，一条直线把整个二维平面分成两个半平面，如交互式图解 3.16所示。 借助定义 3.1（点积），式 (3.65)可改写为

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S) = \ln{\vc{n}}\, \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]. \end{equation}

(3.66)

注意，$\ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$ 实际上是点 $P$ 到直线的正交距离，只不过这个“距离”带有符号：$P$ 位于正半平面时为正，位于负半平面时为负。 还要注意，若 $\vc{n}$ 已归一化，则 $e(P)$ 恰好就是有符号正交距离函数，即 $e(P) = \ln{P - S} \cos [\vc{n}, P-S]$。

3.6.2 平面

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三维（及更高维）平面与二维直线相似：二者都会把所在空间分成两个半空间。第 3.6.1 节已经看到，二维直线把 $xy$ 平面分为正、负两个半平面。与二维直线一样，平面也有隐式和显式两种表示。

要像用 $P(t) = S + t\vc{d}$ 表示直线那样，以显式形式定义一个平面，需要一个起点 $S$ 和两个方向向量 $\vc{d}_1$、$\vc{d}_2$。这两个方向向量不能共线，即对任意 $k$ 都有 $\vc{d}_1 \neq k \vc{d}_2$；换言之，它们既不能同向平行，也不能反向平行。两个方向向量都位于平面内，因此若点 $P$ 位于该平面内，必有

\begin{equation} \overrightarrow{SP} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2, \end{equation}

(3.70)

其中 $t_1$ 和 $t_2$ 取某些标量值。与直线类似，把这两个标量作为 $P$ 的参数，可将上式改写为

\begin{gather} \overrightarrow{SP(t_1,t_2)} = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) - S = t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \\ \Longleftrightarrow \\ P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2. \\ \end{gather}

(3.71)

右图也展示了这种形式。可以看出，它与向量加法非常相似：方向向量 $\vc{d}_1$ 和 $\vc{d}_2$ 分别乘以 $t_1$、$t_2$，再把所得向量与起点 $S$ 相加。由此得到下面的定义。

平面方程也有隐式形式。先将平面方程写成下面的分量形式，其中 $d_{1,y}$ 表示 $\vc{d}_1$ 的 $y$ 分量，其余类推。

\begin{equation} P(t_1, t_2) = S + t_1 \vc{d}_1 + t_2\vc{d}_2 \ \ \ \Longleftrightarrow \ \ \ \begin{cases} p_x(t_1,t_2) = s_x + t_1 d_{1,x} + t_2 d_{2,x},\\ p_y(t_1,t_2) = s_y + t_1 d_{1,y} + t_2 d_{2,y},\\ p_z(t_1,t_2) = s_z + t_1 d_{1,z} + t_2 d_{2,z}. \end{cases} \end{equation}

(3.73)

回顾二维直线的参数形式 $P(t)=S+t\vc{d}$ 可通过消去 $t$，化为隐式形式 $\vc{n}\cdot (P-S)=0$。同样也可消去上面式 (3.73)中的 $t_1$ 和 $t_2$。这可用高斯消元法完成，第 5 章给出了相应例子。这里直接给出结果：式 (3.73) 可化为

\begin{equation} \vc{n} \cdot (P - S) = 0, \end{equation}

(3.74)

消去 $t_1$ 和 $t_2$ 的具体过程参见第 5 章。注意，$\vc{n}$ 是平面的法向量，即它与平面内任意向量都垂直。$\vc{n}$ 与 $\vc{d}_1$、$\vc{d}_2$ 之间还存在一种关系，即叉积，这是第 4 章的主题。

与直线完全相同，也可定义有符号距离函数

\begin{equation} e(P) = \vc{n} \cdot (P - S), \end{equation}

(3.76)

当 $P$ 位于平面内时，$e(P)=0$。当 $P$ 与点 $S+\vc{n}$ 位于平面同一侧时，$e(P)>0$，这一侧称为正半空间；类似地，若 $e(P)<0$，则 $P$ 与点 $S-\vc{n}$ 位于平面同一侧，这一侧称为负半空间。

下面的例子同时使用直线方程和平面方程。

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本章导论（第 3.1 节）的交互式图解 3.1展示了一个称为光线追踪器的图形程序。掌握一些线性代数知识后，编写这类程序并不困难。光线追踪器的核心是一个可见性函数，用来判断一条射线能够“看到”哪个物体。 右图给出了一个例子。光线追踪器先建立一个具有位置和观察方向的虚拟观察者，再从该位置沿该方向计算图像。观察位置就是右图中蓝色射线的起点。随后生成一组射线；最简单的做法是为成像平面上的每个像素生成一条射线。光线追踪程序检查场景中的相关物体，判断穿过某像素的射线是否击中物体，并找出最近的物体。 在图 3.21中，射线击中了三个圆中的两个；由于黄色圆更近，该像素被着为黄色。上方像素对应的射线则击中绿色圆，因此该像素被着为绿色。若要生成阴影、反射和折射效果，还可以从黄色圆与射线的第一个交点继续发射更多射线。

本节给出两个与光线追踪有关的例子。第一个说明如何计算三维射线与三维球面的交点；第二个说明如何在已知曲面法向量时计算向量的反射。两个例子都以点积为主要工具。