第 4 章：向量积

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对于理想漫反射（完全哑光）表面，无论从哪个方向观察，其表观亮度都相同。 入射光在表面发生漫反射，出射光的分布可用朗伯余弦定律描述：出射光强与受光点处的法向量和由受光点指向光源的向量之间夹角的余弦成正比。 右图展示了这一情形，其中法向量记作 $\vc{n}$，指向光源（黄色圆点）的向量记作 $\vc{l}$。朗伯余弦定律给出，表面的出射亮度正比于

\begin{equation} \cos \theta, \end{equation}

(4.1)

也可以写成

\begin{equation} \cos \theta = \vc{n} \cdot \vc{l} \end{equation}

(4.2)

这里假设 $\ln{\vc{n}}=1$ 且 $\ln{\vc{l}}=1$，也就是说，它们都已经归一化。粗略地说，如果光源方向 $\vc{l}$ 与法向量 $\vc{n}$ 完全一致，亮度便达到最大；而随着 $\vc{l}$ 与 $\vc{n}$ 的夹角增大，亮度会逐渐减小。

朗伯余弦定律可以用来计算三维物体上最基本的明暗效果。光源可以放置在任意位置，由此可计算出 $\vc{l}$；不过还需要法向量 $\vc{n}$。 假设这个三维物体由三角形组成。我们在第 3 章中已经看到，可以计算一条直线的“法向量”，也可以由平面方程求出该平面的法向量。 本章将介绍一种计算法向量时更简便的工具——向量积，它有时也称为叉积。 交互式图解 4.2展示了一个由三角形组成的三维物体。

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为了介绍向量积，我们首先需要定义定向和“左右手性”。 这是因为两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 的向量积同时与二者正交，但其方向仍有一个自由度：它既可以沿某一方向与 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 同时正交，也可以指向相反方向。 我们先从二维情形，也就是平面中的定向讲起。如右图所示，逆时针定义为正定向，顺时针定义为负定向。 这与读者可能已经熟悉的角的定义一致：正角 $\alpha$ 从 $x$ 轴出发沿逆时针方向转动，负角则沿顺时针方向转动，参见图 4.3的第二步。

定向的概念也适用于平面中的向量。 若将 $\vc{u}$ 沿正定向旋转（参见图 4.3），能使最小夹角 $[\vc{u},\vc{v}]$ 变为零，则称两个向量 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 具有正定向。图 4.4中的向量可以移动；拖动它们并观察底部文字，就能看到定向何时发生变化。 注意，若 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 具有正定向，则 $\vc{v}$、$\vc{u}$ 必具有负定向，反之亦然。若 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 平行，它们就只是平行关系，既无正定向，也无负定向。

接下来把定向推广到更高维，例如三维向量的定向。为此需要三个向量，记作 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$。与二维定向一样，向量的次序至关重要。 假设 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 和 $\vc{w}$ 都从同一原点出发。想象你位于 $\vc{w}$ 的末端并望向原点；若从该位置看，$\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 具有正定向，就称 $\vc{u}$、$\vc{v}$、$\vc{w}$ 具有正定向。负定向的定义类似，只需从该位置看 $\vc{u}$ 和 $\vc{v}$ 具有负定向即可。图 4.5展示了这一点。 一组具有正定向的向量也称为右手系，而具有负定向的一组向量称为左手系。 图 4.6展示了右手系，也直观说明了它为何如此得名：用右手手指就能轻松构成这样的系统。想象拇指表示第一个向量 $\vc{u}$，食指表示第二个向量 $\vc{v}$，中指表示第三个向量 $\vc{w}$。相应地，用左手以完全相同的方式就能构成负定向的系统。

本书余下部分将主要采用右手系。另请回忆，三个主轴定义为

\begin{align} \vc{e}_x &= (1,0,0), \\ \vc{e}_y &= (0,1,0), \\ \vc{e}_z &= (0,0,1). \end{align}

(4.3)

观察图 4.5右侧，可将 $\vc{u}$、$\vc{v}$、$\vc{w}$ 分别替换为 $\vc{e}_x$、$\vc{e}_y$、$\vc{e}_z$。因此，$\vc{e}_x$、$\vc{e}_y$ 和 $\vc{e}_z$ 构成右手系。 从图中还能看出，可以循环改变向量的次序而仍保持右手系。因此，下列三个系统都是右手系：

\begin{align} &\vc{e}_x, \vc{e}_y, \vc{e}_z \\ & \,\,\,\,\,\swarrow \swarrow \\ &\vc{e}_y, \vc{e}_z, \vc{e}_x \\ & \,\,\,\,\,\swarrow \swarrow \\ &\vc{e}_z, \vc{e}_x, \vc{e}_y, \\ \end{align}

(4.4)

箭头表示从一行到下一行如何向左循环移位：从左侧移出的那个轴会出现在最右端。三个坐标轴的其余三种排列均具有负定向，即构成左手系。

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我们先从向量积的定义入手，随后再看它有哪些用途。

到目前为止，向量积的定义还比较抽象。稍后我们会看到它的许多重要用途。先来考察向量积的长度 $\ln{\vc{u} \times \vc{v}}=$ $\ln{\vc{u}}\,\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$ 的几何解释。 如右图所示，$\ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]$ 是由 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 构成的三角形的高，也是 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 所张成的平行四边形的高。 该平行四边形的面积 $a=bh$，其中 $b$ 是底边，$h$ 是高。用向量 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 表示即为

\begin{equation} a = bh = \ln{\vc{u}}\, \ln{\vc{v}} \sin [\vc{u},\vc{v}]. \end{equation}

(4.5)

因此，平行四边形的面积就是叉积的长度，即

\begin{equation} a = \ln{\vc{u} \times \vc{v}}. \end{equation}

(4.6)

注意，$\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 所张成的三角形面积恰为该平行四边形面积的一半。事实上，我们已经在例 3.7中见过这一结论。

交互式图解 4.8展示了向量积。 交互式图解 4.9给出了理解向量积的另一种直观方式。 由交互式图解 4.9可见，向量积可以看作一种投影。第三种理解方式是：设 $\vc{u}$、$\vc{v}$ 分别为两个平面的法向量。若 $\vc{u}$ 与 $\vc{v}$ 不平行，则它们的向量积必与这两个平面的交线平行。请在纸上作图验证。

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与点积类似，向量积也有一组运算法则，汇总如下。

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最后注意到，以下三个恒等式

\begin{align} \vc{e}_1 \times \vc{e}_2 &= \vc{e}_3, \\ \vc{e}_2 \times \vc{e}_3 &= \vc{e}_1, \\ \vc{e}_3 \times \vc{e}_1 &= \vc{e}_2, \\ \end{align}

(4.11)

对任意右手标准正交基 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$、$\vc{e}_3$ 都成立。右图有助于理解这些关系。 又因为 $\vc{u}\times \vc{v} = -\vc{v}\times \vc{u}$，所以

\begin{align} \vc{e}_2 \times \vc{e}_1 &= -\vc{e}_3, \\ \vc{e}_3 \times \vc{e}_2 &= -\vc{e}_1, \\ \vc{e}_1 \times \vc{e}_3 &= -\vc{e}_2. \\ \end{align}

(4.12)

定义 4.1较为抽象。不过，在三维空间的标准正交基下，有一种非常直接的方法可以计算向量积。下面的定理对此作了总结。

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利用定理 4.2计算向量积非常实用，但公式可能不易记忆。一种便于记忆的方法称为萨鲁斯法则。 先把基向量 $\vc{e}_1$、$\vc{e}_2$、$\vc{e}_3$ 连续写两遍；下一行把 $\vc{u}$ 的 $x$、$y$、$z$ 分量也写两遍；第三行对 $\vc{v}$ 做同样处理，如下所示：

\begin{equation} \begin{array}{cccccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!+ &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! + &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - &\,\, - & - \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \searrow & \!\swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \swarrow \\ \vc{e}_1 & \vc{e}_2 & \vc{e}_3 &\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_1 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_2 &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \vc{e}_3 \\ u_x & u_y & u_z &\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_x &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_y &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! u_z \\ v_x & v_y & v_z &\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_x &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_y &\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! v_z \\ \end{array} \end{equation}

(4.16)

接着沿箭头将各条对角线上的项相乘，再按照箭头上方的符号相加，得到

\begin{equation} \vc{u}\times \vc{v} = +\vc{e}_1 u_y v_z +\vc{e}_2 u_z v_x +\vc{e}_3 u_x v_y -\vc{e}_1 u_z v_y -\vc{e}_2 u_x v_z -\vc{e}_3 u_y v_x, \end{equation}

(4.17)

这就是 $\vc{u}\times \vc{v}=$$(u_y v_z-u_z v_y,\, u_z v_x-u_x v_z,\, u_x v_y-u_y v_x)$，即 定理 4.2。

另一种方法是把向量分量按行写下，$\vc{u}$ 的分量位于 $\vc{v}$ 的分量之上：

\begin{equation} \begin{array}{ccc} u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{array} \end{equation}

(4.18)

要求 $\vc{u} \times \vc{v}$ 的 $x$ 分量，只需划去第一列，用东南方向对角线上的乘积减去西南方向对角线上的乘积：

\begin{equation} \left| \begin{array}{cc} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{array} \right| = u_y v_z - u_z v_y. \end{equation}

(4.19)

注意，上面剩余各项外侧的竖线是行列式记号；行列式是第 7 章的主题。用同样的方法可求出 $y$、$z$ 分量，只是 $y$ 分量前要加一个负号。汇总起来就是

\begin{equation} \vc{u}\times \vc{v} = \Biggl( +\left| \begin{array}{cc} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{array} \right|, \, -\left| \begin{array}{cc} u_x & u_z \\ v_x & v_z \end{array} \right|, \, +\left| \begin{array}{cc} u_x & u_y \\ v_x & v_y \end{array} \right| \Biggr). \end{equation}

(4.20)

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以向量积为基础、包含三个因子的三重积有两类。一类的结果是向量，称为向量三重积，将在第 4.6 节介绍；另一类的结果是标量，称为标量三重积，正是本节的主题。其定义如下。

标量三重积可用于计算 $\vc{u}$、$\vc{v}$、$\vc{w}$ 所张成的平行六面体的体积。下面的定理对此作了总结。

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由此可见，要检验三个向量是否具有正定向，也就是是否构成右手系，只需检查 $(\vc{u}\times \vc{v}) \cdot \vc{w} > 0$ 是否成立。 对于三维右手标准正交基，有 $\ln{\vc{e}_1}=\ln{\vc{e}_2}=\ln{\vc{e}_3}=1$，各基向量两两正交，并且 $(\vc{e}_1 \times \vc{e}_2)\cdot \vc{e}_3 > 0$。事实上，由于这些向量已经归一化且两两正交，有

\begin{gather} \underbrace{(\vc{e}_1 \times \vc{e}_2)}_{\vc{e}_3} \cdot \vc{e}_3 = \vc{e}_3\cdot \vc{e}_3=1, \end{gather}

(4.24)

这对右手标准正交基成立。

由于标量三重积给出平行六面体的有向体积，只要保持向量的正定向，就可以改变表达式中向量的次序。因此

\begin{equation} (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w} = (\vc{v} \times \vc{w}) \cdot \vc{u} = (\vc{w} \times \vc{u}) \cdot \vc{v}. \end{equation}

(4.25)

还可以利用定理 4.1 的法则 (1)，即 $\vc{u} \times \vc{v} = -\vc{v} \times \vc{u}$，改变符号：

\begin{equation} (\vc{u} \times \vc{v}) \cdot \vc{w} = -(\vc{v} \times \vc{u}) \cdot \vc{w} = -(\vc{w} \times \vc{v}) \cdot \vc{u} = -(\vc{u} \times \vc{w}) \cdot \vc{v}. \end{equation}

(4.26)

对于同时为右手系（即具有正定向）的标准正交基，必有 $(\vc{e}_1\times \vc{e}_2) \cdot \vc{e}_3 = 1$。

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顾名思义，向量三重积是三个向量的乘积。在介绍一般形式之前，先看其中两个向量相同的简化形式。

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下面给出一般的向量三重积公式，它有时也称为拉格朗日公式或三重积展开式。

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利用向量三重积可以证明，向量积不满足结合律，即 $(\vc{a} \times \vc{b}) \times \vc{c} \neq \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c})$。在 定理 4.5中令 $\vc{u} = \vc{a}$、$\vc{v} = \vc{b}$、$\vc{w} = \vc{c}$，得到

\begin{equation} \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c}) = (\vc{a}\cdot\vc{c})\vc{b} - (\vc{a}\cdot \vc{b})\vc{c}. \end{equation}

(4.38)

再次使用该定理，这次令 $\vc{v} = \vc{a}$、$\vc{w} = \vc{b}$、$\vc{u} = \vc{c}$，得到

\begin{equation} \vc{c} \times (\vc{a} \times \vc{b}) = (\vc{c}\cdot\vc{b})\vc{a} - (\vc{c}\cdot \vc{a})\vc{b}. \end{equation}

(4.39)

在第二个表达式中，同时改变符号即可交换 $\vc{c}$ 与 $(\vc{a}\times \vc{b})$ 的次序（见定理 4.1的第一条法则）。因此

\begin{equation} (\vc{a} \times \vc{b})\times \vc{c} = -(\vc{c}\cdot\vc{b})\vc{a} + (\vc{c}\cdot \vc{a})\vc{b}. \end{equation}

(4.40)

若向量积满足结合律，即 $(\vc{a} \times \vc{b}) \times \vc{c} = \vc{a} \times (\vc{b} \times \vc{c})$，则式 (4.38)与式 (4.40)的右端必须相等。括号中的表达式都是标量，令两式右端相等可得

\begin{equation} k_1 \vc{b} + k_2 \vc{c} = k_3 \vc{b} + k_4 \vc{a}, \end{equation}

(4.41)

其中 $k_1,k_2,k_3,k_4$ 为某些标量。只有当

\begin{equation} k_2 \vc{c} = (k_3-k_1) \vc{b} + k_4 \vc{a}, \end{equation}

(4.42)

成立。这意味着 $\vc{c}$ 位于 $\vc{b}$ 与 $\vc{a}$ 所张成的平面内，而一般并非如此。因此，向量积不满足结合律。

向量三重积定理还可用于证明向量积满足雅可比恒等式，如下所示。

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本章最后给出几个例子。

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在第 4.1 节中，我们需要计算三角形的单位法向量。三角形的法向量就是与其所在平面正交的向量。现在已经了解向量积，这项计算便很简单了。 设三角形的三个三维顶点为 $P_1$、$P_2$、$P_3$。选取 $P_3$ 为参考点，计算从 $P_3$ 指向 $P_1$、$P_2$ 的边向量：

\begin{align} \vc{e}_1 &= P_1 - P_3, \\ \vc{e}_2 &= P_2 - P_3. \end{align}

(4.55)

未归一化的法向量就是 $\vc{e}_1$ 与 $\vc{e}_2$ 的向量积：

\begin{equation} \vc{m} = \vc{e}_1 \times \vc{e}_2. \end{equation}

(4.56)

将 $\vc{m}$ 归一化即可得到单位法向量：

\begin{equation} \vc{n} = \frac{\vc{m}}{\ln{\vc{m}}}. \end{equation}

(4.57)

注意，改变各点的排列次序会使法向量反向。