第 1 章：导论

---

本节说明本书使用的记号。你可以暂时跳过，等需要时再回来查阅；不过内容简短易读，最好还是在进入其他章节之前先看一遍。

请注意，本书中的各项内容都有编号，便于读者讨论不同的方程、表达式等。例如，你随时可以引用式 (3.12)，它表示第 3 章中的第 12 个方程或表达式。

通常所说的数可以为正，也可以为负；可以有小数部分，还可以是有理数或无理数。 所有这些数构成的集合记作 $\R$，其中的数称为实数。 本书常用标量或标量值来指代实数，并一律用小写字母表示，例如 $j, s, t, a, m$。 字母还可以带下标，因此 $k_1$、$k_2$ 和 $k_3$ 表示三个不同的数。要把它们相加，也可以写成 $\sum_{i=1}^3k_i$。 记号 $k\in \R$ 表示 $k$ 是实数；更准确地说，$k$ 属于全体实数组成的集合。

标量 $k$ 的绝对值记作 $\abs{k}$，定义为

\begin{equation} \abs{k} = \left\{ \begin{matrix} k, & \text{若 } k \geq 0\\ -k, & \text{若 } k < 0 \end{matrix} \right. , \end{equation}

(1.1)

也就是说，若这个数为负，就去掉它的负号。

集合是若干对象组成的整体，例如一组整数。由 $1$、$2$ 和 $4$ 构成的集合记作 $\{1,2,4\}$。如果希望变量（例如 $i$）可以取集合中的任一元素，就写作 $i\in\{1,2,4\}$。

实数的取值往往限定在某个区间内。例如，若已知 $x$ 可以取从零到一之间的任意值，且包含零和一，就可写作 $x \in [0, 1]$。圆括号表示不包含相应端点。例如，

\begin{gather} x \in [-1, 2) \ \ \ \text{表示} \ \ \ -1 \leq x < 2 \\ \theta \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \ \ \ \text{表示} \ \ \ -\frac{\pi}{2} < \theta \leq \frac{\pi}{2}. \end{gather}

(1.2)

---

本节概述本书将用到的一些实用三角学概念，但绝不是对三角学的系统讲解。

余弦、正弦和正切函数值得随时牢记。参见图 1.1。 对于直角三角形，有：

\begin{align} \cos \theta &= \frac{a}{c}, \\ \sin \theta &= \frac{b}{c}, \\ \tan \theta &= \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{b/c}{a/c} = \frac{b}{a}. \end{align}

(1.3)

对图 1.1中的三角形，勾股定理给出 $c^2 = a^2 + b^2$。

下面给出一组常用的三角恒等式。基本三角恒等式为

\begin{equation} \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1. \end{equation}

(1.4)

余弦定理是一个非常实用的公式，其几何关系如图 1.2所示。 由余弦定理可得

\begin{equation} c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos \gamma. \end{equation}

(1.5)

与之相关的正弦定理，其几何关系如图 1.3所示。 正弦定理为

\begin{equation} \frac{\sin \alpha}{a} = \frac{\sin \beta}{b} = \frac{\sin \gamma}{c}. \end{equation}

(1.6)

本节略去所有三角学公式的证明，其中一些公式将在后续章节中得到证明。

余弦和正弦的反函数也很重要。例如，$\theta = \arcsin a$ 表示 $\sin \theta = a$。函数 $\arcsin a$ 的值域为 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$。同理，$\theta = \arccos a$ 表示 $\cos \theta = a$，且 $\arccos a \in [0, \pi]$。

不过要注意，仅由 $\sin \theta = a$ 不能断定 $\theta = \arcsin a$。例如，$\sin 4\pi = 0$，但 $\arcsin 0 = 0$，而不是 $4\pi$。事实上，$\sin \theta = a$ 有无穷多个解；只有把 $\sin$ 限制在区间 $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ 上时，$\arcsin$ 才是它的反函数。全部解可写为 $\theta=\arcsin(a)+2k\pi$ 或 $\theta=\pi-\arcsin(a)+2k\pi$，其中 $k\in\mathbb{Z}$。

至此，可以开始学习本书第一个实质性的章节了。 单击这里前往第 2 章，也可以使用左上角的菜单进行导航。